Шарнирный механизм. Конфигурационное пространство.

[FFFF]

Здравствуйте!
Плоским шарнирным механизмом из $n$ стержней называется множество $(l_1;l_2,...,l_n)$, где $l_i$ - длина i-ого стержня. Концы первого стержня закреплены, т.е. он неподвижен. Второй стержень одним шарниром крепится к первому, другим к третьему, n-ый -одним концом к n-1-ому, другим - к первому. В шарнирах стержни поворачиваются свободно настолько, насколько позволяет конфигурация.
Требуется доказать, что конфигурационное пространство шарнирного механизма $(n-\alpha;1,...,1)$ из $n+1$ стержня равно
1). $S^{n-2}$ при $\alpha=\frac{1}{2}$
2). $T^{n-2}$ при $\alpha=\frac{3}{2}$
С первым случаем всё понятно, доказывается по индукции, ни один стержень не может провернуться на 360 градусов, фиксируя положение крайнего стержня, можно рассмотреть меньший механизм для которого всё известно. При предельных положениях угла наклона крайнего стержня остальные свободные выстраиваются в линию. То есть получаем цилиндр $I \times S^{n-3}$, у которого каждая граничная сфера стянута в точку - это $S^{n-2}$

А вот как быть со вторым? Я не могу понять, чем качественно ситуация отличается от пункта 1.

[FFFF]

Вот картинка:

[svv]

Джет Неструев, "Гладкие многообразия и наблюдаемые". Классная книга. Не читал.
Простите, а там в книге нет пояснений?

[FFFF]

svv
Да, книга прекрасная и очень интересная.

Там дано определение шарнирного механизма, утверждение о том, что его конфигурационное пространство полностью определяется длинами стержней (т.е. определение корректно), картинка и упражнения

Цитата:

Мы надеемся, что читатель получит удовольствие, открыв, что конфигурационное пространство $(1;1,1,1,1)$ есть сфера с четырьмя ручками

[svv]

Да, вот сейчас нашел эту книгу в своем архиве, но...
Может быть, вот из этой статьи можно уловить подход к нахождению конфигурационных пространств шарнирных механизмов?
http://www.ega-math.narod.ru/Nquant/Space.htm
В числе авторов -- сам Тёрстон! Правда, там шарнирные механизмы не совсем такие, как у Неструева, к сожалению.

А также
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=131&option_lang=rus

[FFFF]

svv
Спасибо за ссылки!
Сосинский, кстати, один из соавторов книги.

[svv]

Действительно! Мне только и запомнилось, что Неструев состоит из двух Виноградовых и ещё нескольких, фамилии которых я не запомнил.

А знаете такую книгу "Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии"? Там один из авторов -- А. М. Виноградов, который, как я понял, является стержневым элементом Джета.

[FFFF]

Да, у меня она есть, но я её не читал. В соавторстве с Лычагиным у Виноградова есть ещё одна книга - "Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений" - там всё с джетов и начинается. Но для меня она, к сожалению, пока сложновата.

(Оффтоп)

Если Вы интересуетесь подобными вещами (джеты, вторичное дифференциальное исчисление, наблюдаемость в физике), то, быть может, Вам будет интересна летняя школа под руководством Виноградова: Diffiety School. В этом году в Польше проходит, там есть и курсы, и всякие семинары интересные (на правах рекламы )

[svv]

Спасибо, интересно. Ничего об этом не слышал. Пока ограничусь элементарным введением.

[FFFF]

В предисловии книги Неструева как раз хорошо описано, зачем эти все дела.