Усреднение значения функции нескольких параметров

[Mysticus]

Доброго времени суток.
Нужна помощь умных человеков в решении тривиальной задачки.
Есть функция, которая описывает распределение искаженного поля скоростей в потоке внутри круглого трубопровода.
Она имеет след. вид:
$\begin{array}{{20}{c}} {u = {{\left( {1 - r} \right)}^{\frac{1}{n}}} + m'r{{\left( {1 - r} \right)}^{\frac{1}{k}}} \cdot f\left( \theta \right);}\\ {{\rm{}}\,\,r \le b,\,0 \le b \le 1;} \end{array}\
Параметры n,m',k опереляются характеристиками потока и имеют свои числовые значения, функция влияния Салами имеет вид
$\[f\left( \theta \right) = \left( {{\theta ^2} - 1} \right){\left( {1 - \cos \left( \theta \right)} \right)^2}\]$
Соответственно функция распределения скоростей может быть записана как $\[u = u\left( {r,\theta } \right)\]$
Для соотв. параметров степенного закона она имеет следующий вид(поверхность+линии уровня):

Теперь самое интересное:
1) мне нужно найти среднее значение скорости в плоскости сечения трубопровода, т.е $\[\bar u = u\left( {r,\theta } \right)\]$
Моя идея - найти обьем фигуры, представленной на рисунке слева, потом разделить его на площадь круга в основании. Я так думаю, что надо найти тройной интеграл(поправьте, если ошибаюсь), а вот с пределами запутался.
2) а вот теперь самое хитрое: надо найти скорость потока, усреднённую по отрезку в плоскости, отстоящей на расстояние $\[\xi \]$ от оси трубопровода и повернутой на угол $\[\theta \]$. Изюминка ещё и в том, что этот отрезок проходит под углом $\[\alpha \]$ относительно оси трубопровода. Обьясняю картинкой:

Угол $\[\theta \]$, на который повернута плоскость на рисунке выше и угол $\[\theta \]$, от которого зависит распределение скоростей - разные углы, просто не успел исправить.
Длину луча условно обозначим l.
Тут опять подозреваю надо интегрировать, а вот что и как... вот тут и кроется моя печаль
Заранее благодарен за любую помощь/идеи.
_____
С. ув. Андрей

[Mysticus]

Для усреденения значения функции в плоскости у меня получилось след. выражение.
$\[\bar u = \frac{1}{{\pi {R^2}}}\int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^R {u\left( {r,\theta } \right)rdrd\theta } } \]$
Правильно ли и не лишний ли тут Якобиан?

________
С ув. Андрей

[Mysticus]

Более неактуально, большая просьба к модераторам подчистить тему.
Спасибо.