две задачи по ТФКП

[tavrik]

1) пусть $f(z), g(z)$ аналитичны в области $D$ и непрерывны на $\partial D$ - и для каждой точки на $\partial D$ верно $|f(z)|=|g(z)|$.
доказaть, что если ни одна из них не обращается в 0 то существует "а" так что $f(z)=ag(z)$.
доказать, что если условие(о принятии значени 0) не выполняется то утверждение неверно.
2) доказать, что если $f(z)$ аналитична в кольце $r_1<|z|<r_2$, непрерывна на окружности и равна 0 на каждой точке этой окружности, то $f(z)=0$ для любого $z$ из области определения.

1) предлагаю рассмотреть функцию соотношения $h(z)=\frac{f(z)}{g(z)}$
если не принимается значение 0 то функция определена и аналитична(как соотношение двух аналитичных функций). более того $h(z)$ принимает значение 1 на окраине области. по теореме о максимальном значении она принимает своё максимальное значение на окраине, а значит ограничена. по теореме Лиувиля она константа.
вопрос правильно ли здесь Лиувиль, по моему не очень. и правильно ли рассуждение в принципе.

2) тут, IMHO, как-то нужно скомбинировать теорему о максимальном значении. может быть дополнить функцию - залатать пятно $0<z<r_1$
?

[Полосин]

Ваше рассуждение ошибочно: в теореме Лиувилля речь идет о целых (т.е. аналитических во всей плоскости) функциях, а здесь ограниченная область.
В случае 1a) рассмотрите действительную часть $\ln\dfrac f g$ и вспомните свойства гармонических функций. В случае 1б) подберите подходящие полиномы (они окажутся очень простыми) в единичном круге. В случае 2) вспомните теорему и формулу Коши и теорему единственности для аналитических функций.

[tavrik]

Полосин в сообщении #560557 писал(а):

В случае 1б) подберите подходящие полиномы (они окажутся очень простыми) в единичном круге.

полиномы?
а я взял $f(x)=ez$, $g(x)=e^z$
они не подходили?

свойство гармонических функций - принимают максимальное и минимальное значения на окраине.

[sup]

Да все проще. Надо рассмотреть как $f/g$, так и $g/f$.