ВТФ и теорема Птолемея

[ljubarcev]

Предположим, что имеет место равенство $z^n=x^n+y^n$ (1)
при $x<y<z$ и не четном $n=2k+1$.
Приведём исходное равенство к виду:

$$\frac{x^n}{z^n}+\frac{y^n}{z^n}=1$$

.
Так как $x<z$ $y<z$, то $x/z<1$ и $y/z<1$ и поэтому $x/z>x^2/z^2>x^3/z^3>\cdots x^{n-1}/z^{n-1}$, и $y/z>y^2/z^2>y^3/z^3>\cdots y^{n-1}/z^{n-1}$. Ясно, что $x, y, z$ должны удовлетворять системе неравенств:

$$x+y>z;x^2+y^2>z^2;x^3+y^3>z^3\cdots x^{n-2}+y^{n-2}>z^{n-2};x^{n-1}+y^{n-1}>z^{n-1}$$

.(2)
Каждое их этих неравенств удовлетворяют условию существования треугольника. Следовательно, при $z^n=x^n+y^n$ должны существовать $n-1=2k$ целочисленных треугольников. Нетрудно понять, что треугольники со сторонами $(x, y, z);(x^2,y^2,z^2);(x^3,y^3,z^3)\cdots (x^{\frac {n-1}{2}}, y^{\frac {n-1}{2}}),(z^{\frac{n-1}{2}})$; будут остроугольными, а треугольники со сторонами $(x^{\frac {n+1}{2}};y^{\frac {n+1}{2}},z^{\frac {n+1}{2}});(x^{\frac {n+3}{2}};y^{\frac{n+3}{2}};z^{\frac {n+3}{2}});\cdots (x^{n-1}, y^{n-1}, z^{n-1}})$; бyдут тупоугольными (в соответствии с неравенствами (2) и теоремой косинусов для любого треугольника). Ни один из них не будет прямоугольным треугольником Пифагора.
Ясно, что мы можем взять из упомянутых выше треугольников, например, треугольник со сторонами
$x^\frac {n-1}{2};y^\frac {n-1}{2};z^\frac {n-1}{2}$ и $x^\frac {n+1}{2}; y^\frac {n+1}{2};z^\frac {n+1}{2}$: преобразовать их с учетом того, что $n=2k+1$ в рациональные треугольники со сторонами $\frac {x^k}{z^k};\frac {y^k}{z^k},1;$ и $\frac {x^{k+1}}{z^{k+1}};\frac {y^{k+1}}{z^{k+1}};1$, (при этом треугольники остаются подобными, изменяется только масштаб). Теперь мы можем сложить их вместе, совместив стороны равные 1, и расположив друг против друга стороны
$\frac {x^k}{z^k}$ и $\frac {x^{k +1}}{z^{k+1}}$.
gолучим выпуклый четырехугольник. Очевидно, таких четырехугольников мы можем построить в количестве $k$ , выбирая тройки $x^i,y^i,z^i$ и $x^j,y^j,z^j$ так, чтобы имело место равенство
$i+j=n-1=2k$ и дальнейшие рассуждения справедливы для любого из таких четырёхугольников. Если бы вокруг полученного четырехугольника можно было описать окружность, то в соответствии с теоремой Птолемея мы имели бы:

$$\frac {x^k}{z^k}\cdot \frac {x^{k+1}}{z^{k+1}}+{\frac {y^k}{z^k}}\cdot {\frac {y^{k+1}}{z^{k+1}}=1\cdot d$$

,
где $d$ - вторая диагональ четырех угольника.
Левая часть равенства удовлетворяет исходному предположению и равна $1$, по этому, чтобы существовало равенство $z^n=x^n+y^n$, должно существовать и равенство $1\cdot d=1$. Видим, что бы последнее равенство имело место, вторая диагональ построенного четырехугольника $d$ тоже должна также равняться $1$, то есть четырехугольник должен быть либо квадратом, либо прямоугольником,
либо трапецией, как всякий четырехугольник с равными диагоналями.
У перечисленных фигур по крайней мере две противоположные стороны
должны быть равны друг другу. Но в построенном четырехугольнике противоположные стороны не равны друг другу. Следовательно, описать вокруг него окружность невозможно. Таким образом убеждаемся, что при $z^n=x^n+y^n$, построить четырехугольник, вокруг которого можно было бы описать окружность невозможно, в то же время, в соответствии с теоремой Птолемея - это необходимо. Полученное противоречие и доказывает, что исходное предположение наличия равенства $z^n=x^n+y^n$ при $n=2k+1$ не верно.
Дед.

[tolstopuz]

ljubarcev писал(а):

в то же время, в соответствии с теоремой Птолемея - это необходимо.

Необходимость не доказана.

[ljubarcev]

tolstopuz писал(а):

ljubarcev писал(а):

в то же время, в соответствии с теоремой Птолемея - это необходимо.

Необходимость не доказана.

Уважаемый tolstopuz! Спасибо за внимание и потраченное время.
1. Необходимость существования $k$ четырехугольников доказана.
2. Теорема Птолемея гласит: во всяком четырёхугольнике, вписанном в четырёхугольник сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей.
3. Удовлетворить исходному предположению $x^n+y^n=z^n$ можно только и только, если вокруг указанных четырехугольников можно описать окружность. Действительно.Только в этом случае мы будем иметь

$$\frac {x^k}{z^k}\cdot {y^k}{z^k}+\frac {x^{k+1}}{z^{k+1}}\cdot \frac {y^{k+1}}{z^{k+1}}=\frac {x^n+y^n}{z^n}$$

. А это и дает применение теоремы Птолемея.
Следовательно, вписываемость четырехугольников в окружность – необходимое условие существования равенства $x^n+y^n=z^n$.
Дальше всё, если я правильно понял, ясно.
Дед.

[tolstopuz]

ljubarcev писал(а):

3. Удовлетворить исходному предположению $x^n+y^n=z^n$ можно только и только, если вокруг указанных четырехугольников можно описать окружность.

Не только. Этому предположению можно удовлетворить и в том случае, если вокруг указанных четырехугольников нельзя описать окружность. Так как вы не рассмотрели этот случай у себя в доказательстве, оно неправильно.

[ljubarcev]

tolstopuz писал(а):

ljubarcev писал(а):

3. Удовлетворить исходному предположению $x^n+y^n=z^n$ можно только и только, если вокруг указанных четырехугольников можно описать окружность.

Не только. Этому предположению можно удовлетворить и в том случае, если вокруг указанных четырехугольников нельзя описать окружность. Так как вы не рассмотрели этот случай у себя в доказательстве, оно неправильно.

Уважаемый tolstopuz!
В приведенном доказательстве показано, как может быть получено равенство $x^n+y^n=z^n$ в случае, когда вокруг приведенных четырёхугольников можно описать окружность. Как получить $x^n+y^n=z^n$, если сделать это невозможно, я не представляю.
Если можете – хотя бы намекните. Может разберусь.
Дед.

[PAV]

ljubarcev

Не обрамляйте тегом math весь текст сообщения. Вообще его явно использовать не надо, ставьте только знаки долларов вокруг формул, а тег будет добавлен автоматически.

[tolstopuz]

ljubarcev писал(а):

Если можете – хотя бы намекните. Может разберусь.

Помочь не могу - доказательством теоремы Ферма не занимаюсь. Когда разберетесь, приносите новое доказательство, покажу новую ошибку.

[Someone]

ljubarcev писал(а):

В приведенном доказательстве показано, как может быть получено равенство $x^n+y^n=z^n$ в случае, когда вокруг приведенных четырёхугольников можно описать окружность. Как получить $x^n+y^n=z^n$, если сделать это невозможно, я не представляю.

В "доказательстве" нигде не используется тот факт, что треугольники целочисленные или что числа $i$ и $j$ целые, единственное, что нужно - это равенство $i+j=n$ (в "доказательстве" почему-то написано $i+j=n-1$). Поэтому никто не мешает взять $i=j=\frac n2$. Тогда два треугольника, сложенные указанным способом, образуют прямоугольник.

[ljubarcev]

Someone писал(а):

ljubarcev писал(а):

В приведенном доказательстве показано, как может быть получено равенство $x^n+y^n=z^n$ в случае, когда вокруг приведенных четырёхугольников можно описать окружность. Как получить $x^n+y^n=z^n$, если сделать это невозможно, я не представляю.

В "доказательстве" нигде не используется тот факт, что треугольники целочисленные или что числа $i$ и $j$ целые, единственное, что нужно - это равенство $i+j=n$ (в "доказательстве" почему-то написано $i+j=n-1$). Поэтому никто не мешает взять $i=j=\frac n2$. Тогда два треугольника, сложенные указанным способом, образуют прямоугольник.

Уважаемый Someone !
В своём доказательстве я исходил и предположения, что
П. Ферма мог рассуждать следующим образом.
Если $x^n+y^n=z^n$,при $x<y<z$,то $x+y>z$ при любом $n>1$ и, следовательно, всегда должен существовать треугольник со сторонами $x,y,z$. Сложив два таких треугольника сторонами $z$ мы всегда получим параллелограмм. Известно из геометрии, что вокруг параллелограмма можно описать окружность только и только если он является прямоугольником. Но в этом случае в соответствии с теоремой Птолемея будем иметь $x\cdot x+y\cdot y=z\cdot z$, то есть всегда должно быть $x^2+y^2=z^2$. Из этого и следует вывод, что уравнение $x^n+y^n=z^n$ разрешимо только и только в квадратах (то есть при $n$ чётном).
Думается, что именно из этих соображений П.Ферма считал, что при $n$ не четном решений нет и искал, нашел и опубликовал доказательство отсутствия решений для $n=4$.
Относительно Ваших замечаний отмечу следующее.
1.Вы правильно обратили внимание на тот факт, что в доказательстве относительно $x;y;z$ не используется понятие число – это отрезки. Как числа рассматривается только $n;k;i;j$.
2. Числа $i;j$ должны быть целыми, Если хотя бы одно из них не целое,
то соответствующий отрезок, например $x^i$ будет иррационален.
3. В приведенном доказательстве рассмотрен именно случай $i+j=n$.
Сумма степеней всех рассматриваемых отрезков равна $k+(k+1)=2k+1=n$
4. В доказательстве рассматривается случай не чётного $n=2k+1$,
поэтому в приведенном Вами случае $i=j=\frac {n}{2}$ по крайней мере
одно из чисел $i;j$ не целое и отрезки$x^i;y^i;z^i$ будут иррациональными.
Дед.

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Someone писал(а):

В "доказательстве" нигде не используется тот факт, что треугольники целочисленные или что числа $i$ и $j$ целые, единственное, что нужно - это равенство $i+j=n$ (в "доказательстве" почему-то написано $i+j=n-1$). Поэтому никто не мешает взять $i=j=\frac n2$. Тогда два треугольника, сложенные указанным способом, образуют прямоугольник.

Уважаемый Someone !
В своём доказательстве я исходил и предположения, что
П. Ферма мог рассуждать следующим образом.

Не мог. Не приписывайте ему свои заблуждения.

ljubarcev писал(а):

Если $x^n+y^n=z^n$,при $x<y<z$,то $x+y>z$ при любом $n>1$ и, следовательно, всегда должен существовать треугольник со сторонами $x,y,z$. Сложив два таких треугольника сторонами $z$ мы всегда получим параллелограмм. Известно из геометрии, что вокруг параллелограмма можно описать окружность только и только если он является прямоугольником.

А почему обязательно должна существовать описанная окружность? С какой стати?

ljubarcev писал(а):

2. Числа $i;j$ должны быть целыми, Если хотя бы одно из них не целое, то соответствующий отрезок, например $x^i$ будет иррационален.

И шут с ним, пусть будет иррациональным. Всё равно его целочисленность Вы нигде не используете, только зачем-то ограничиваете себя случаем целых $i$, $j$.

ljubarcev писал(а):

4. В доказательстве рассматривается случай не чётного $n=2k+1$, поэтому в приведенном Вами случае $i=j=\frac {n}{2}$ по крайней мере
одно из чисел $i;j$ не целое и отрезки$x^i;y^i;z^i$ будут иррациональными.

Ну и что? Где Вы доказываете, что треугольники обязательно должны быть целочисленные? Нигде. Вы просто демонстрируете, что из треугольников, которые Вы перечислили, нельзя построить прямоугольник. А из треугольников, которые Вы не пожелали перечислить, прямоугольник строится. И требуемое равенство точно так же получается с помощью теоремы Птолемея. А целочисленные там треугольники или нет - совершенно несущественно.

[ljubarcev]

Someone писал(а):

В "доказательстве" нигде не используется тот факт, что треугольники целочисленные или что числа $i$ и $j$ целые, единственное, что нужно - это равенство $i+j=n$ (в "доказательстве" почему-то написано $i+j=n-1$). Поэтому никто не мешает взять $i=j=\frac n2$. Тогда два треугольника, сложенные указанным способом, образуют прямоугольник.

А почему обязательно должна существовать описанная окружность? С какой стати?

ljubarcev писал(а):

2. Числа $i;j$ должны быть целыми, Если хотя бы одно из них не целое, то соответствующий отрезок, например $x^i$ будет иррационален.

И шут с ним, пусть будет иррациональным. Всё равно его целочисленность Вы нигде не используете, только зачем-то ограничиваете себя случаем целых $i$, $j$.

ljubarcev писал(а):

4. В доказательстве рассматривается случай не чётного $n=2k+1$, поэтому в приведенном Вами случае $i=j=\frac {n}{2}$ по крайней мере
одно из чисел $i;j$ не целое и отрезки $x^i;y^i;z^i$ будут иррациональными.

Ну и что? Где Вы доказываете, что треугольники обязательно должны быть целочисленные? Нигде. Вы просто демонстрируете, что из треугольников, которые Вы перечислили, нельзя построить прямоугольник. А из треугольников, которые Вы не пожелали перечислить, прямоугольник строится. И требуемое равенство точно так же получается с помощью теоремы Птолемея. А целочисленные там треугольники или нет - совершенно несущественно.[/quote]
Уважаемый someone !
Как я понял, Вы согласны с тем, что из предположения существования равенства $x^n+y^n=z^n$ при $x<y<z$ произвольных отрезках получается, что должны существовать приведенные треугольники. Но если они должны быть при произвольных $x;y;z$, то они должны быть и в частном случае , когда их длины выражается целыми числами и их непременно должно быть $2k$ штук. Ясно, что среди множества всех треугольников имеются и треугольники, удовлетворяющие исходному равенству, например, при любых $x;y$ ему будет удовлетворять $z=\sqrt [n]{x^n+y^n}$. Но ведь из полученной системы неравенств $x+y>z;x^2+y^2>z^2;\cdots {x^{n-1}+y^{n-1}}>z^{n-1}$ явно следует, что при целых по предположению $x;y;z$ эти треугольники целочисленные. Поэтому достаточно доказать, что их существование одновременно в количестве $2k$ штук невозможно (попутно заметим, что при $n=2$ треугольник только один).
Доказать это и позволяет построение указанным способом четырехугольников и использование теоремы Птолемея.
Действительно, если бы существовали при $n=2k+1$ одновременно целочисленные треугольники со сторонами $x^k;y^k;z^k$ и $x^{k+1};y^{k+1};z^{k+1}$(а со всей очевидностью доказано, что это должно быь), то указанное построение было бы возможно и в соответствии с теоремой Птолемея мы имели бы

$$\frac {x^k}{z^k}}\cdot\frac {x^{k+1}}{z^{k+1}}+\frac {y^k}{z^k}\cdot\frac {y^{k+1}}{z^{k+1}}=\frac {x^n+y^n}{z^n}$$

. Но теорема Птолемея верна только и только, если вокруг четырехугольника можно описать окружность. В рассматриваемом случае такой окружности нет. Это противоречие и доказывает, что равенство $x^n+y^n=z^n$, теперь уже в целых числах, не возможно.
Дед.

[Jnrty]

Jnrty:

ljubarcev, злоупотребляете цитированием. Цитировать нужно только то, что обсуждаете. Сократите, пожалуйста.

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Но ведь из полученной системы неравенств $x+y>z;x^2+y^2>z^2;\cdots {x^{n-1}+y^{n-1}}>z^{n-1}$ явно следует, что при целых по предположению $x;y;z$ эти треугольники целочисленные.

Из этих неравенств следует только то, что упомянутые треугольники существуют. Целичисленность следует из предполагаемой целочисленности $x,y,z$.

ljubarcev писал(а):

Поэтому достаточно доказать, что их существование одновременно в количестве $2k$ штук невозможно (попутно заметим, что при $n=2$ треугольник только один).

Нельзя доказать, что они не существуют. Более того, если не ограничиваться целочисленными показателями, то существует бесконечно много треугольников со сторонами $x^p, y^p, z^p$, где $0\leqslant p<n$, разумеется, не целочисленных. Среди них есть и такие, из которых можно составить прямоугольник (два треугольника для $p=\frac n2$).

ljubarcev писал(а):

Доказать это и позволяет построение указанным способом четырехугольников и использование теоремы Птолемея.

Теорема Птолемея (да и любая другая) ничего не может доказать в ситуациях, в которых она неприменима. Она применяется к четырёхугольникам, вписанным в окружность, у Вас же ни одного такого четырёхугольника не получилось.

У Вас здесь довольно примитивная логическая ошибка. Вы рассуждаете так:
1) если бы вокруг четырёхугольника можно было бы описать окружность, то равенство выполнялось бы;
2) однако окружность описать нельзя, поэтому равенство не выполняется.

Если с первым я согласен, то второе ниоткуда не следует. Даже если бы равенство выполнялось, то всё равно из всех Ваших $k=\frac{n-1}2$ четырёхугольников ни один нельзя было бы вписать в окружность, и Вы это доказываете. Известно, что из утверждения $A\Rightarrow B$ следует $\neg B\Rightarrow\neg A$, но не следует $\neg A\Rightarrow\neg B$.

[ljubarcev]

Someone писал(а):

Цитата:

ljubarcev писал(а):
Но ведь из полученной системы неравенств явно следует, что при целых по предположению эти треугольники целочисленные.

Из этих неравенств следует только то, что упомянутые треугольники существуют. Целичисленность следует из предполагаемой целочисленности .

Уважаемый someone ! Ваше замечание в по смыслу в точности соответствует моему тексту.
Someone писал(а):

Цитата:

ljubarcev писал(а):
Поэтому достаточно доказать, что их существование одновременно в количестве $2k$ штук невозможно (попутно заметим, что при $n=2$ треугольник только один).

Нельзя доказать, что они не существуют. Более того, если не ограничиваться целочисленными показателями, то существует бесконечно много треугольников со сторонами $x^p;y^p;z^p^$, где $0\le p<n$, разумеется, не целочисленных. Среди них есть и такие, из которых можно составить прямоугольник (два треугольника для $p=\frac {n}{2}$.

Что существуют не целочисленные треугольники я писал. Но как доказано ( и вы с этим согласились), что должно одновременно, при наличии решения уравнения $x^n+y^n=z^n$ в целых числах, быть $2k$ целочисленных треугольника. Так что не целочисленные треугольники (когда хотя бы одно из чисел $i;j$ не целое)здесь не причем. Достаточно доказать, что нет целочисленных треугольников. Для $p=\frac {n}{2}$ Ваше замечание верно
только для $n=2$. При четных $n$ больших $2$ утверждение Ферма доказывается методом "бесконечного спуска", а можно и предложенны здесь, так как при $n= 2^mk$
$(x^{2^m})^k+(y^{2^m})^k=(z^{2^m})^k$, то есть должно быть решение в целых числах и при не четном $k$. Повторяюсь. Именно позтому П. Ферма доказывал и доказал теорему при $n=4$.
Дед.

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Но как доказано ( и вы с этим согласились), что должно одновременно, при наличии решения уравнения $x^n+y^n=z^n$ в целых числах, быть $2k$ целочисленных треугольника.

Ну да, могу и ещё раз согласиться: если уравнение $x^n+y^n=z^n$ при нечётном $n>2$ имеет решение в натуральных числах, то существуют $2k=n-1$ целочисленных треугольников со сторонами $x^i$, $y^i$, $z^i$ для натуральных $i<n$

ljubarcev писал(а):

Достаточно доказать, что нет целочисленных треугольников.

Как же их нет, когда вон они перечислены?

ljubarcev писал(а):

Повторяюсь. Именно позтому П. Ферма доказывал и доказал теорему при $n=4$.

Скорее всего, по гораздо более прозаической причине: для других $n>2$ у него доказательства не было. Идеи, которые применялись позже для других показателей, были совершенно чуждыми Ферма, а на тех идеях, которые мог использовать сам Ферма, пока никому никакого доказательства построить не удалось. Кроме $n=4$.

Но мы с Вами толчём воду в ступе. Я Вам указал логическую ошибку в Ваших рассуждениях. Вы поняли, что я имел в виду?