Решение уравнения в целых числах

[Апис]

Решение уравнения

\[x^2 + y^2 = z^2 \]

в целых числах.
Порядок решения будет следующий.
1. Даём (y) произвольное целое значение.
2. Факторизация числа (y).
3. Введём дополнительное обозначение (d) d=z-x отсюда

\[ z = \tfrac{{y^2 + d^2 }}{{2d}}\]

\[x = \tfrac{{y^2 - d^2 }}{{2d}}\]

.
4. Количество числовых значений (d) находим равным количеству простых множителей полученых при факторизации числа(y) плюс количество сочетаний из этих простых множителей, при обязательном условии (y) и (d) должны быть одинаковой чётности.
Усли (y) простое число (d)=1.
5.Количество числовых значений (d) равно количеству решений уравнения

\[x^2 + y^2 = z^2 \]

в целых числах, при (y) - фиксированое целое числовое значение.
Например.
y=30

\[y = 2 \cdot 3 \cdot 5\]

.

\[d = 2;6;10;30;\]

.
d=6

\[z = \tfrac{{900 + 36}}{{12}} = 78\]

.

\[z = \tfrac{{900 - 36}}{{12}} = 72\]

.

\[30^2 + 72^2 = 78^2 \]

. 900+5184=6084 6084=6084.
y=17 d=1

\[z = \frac{{289 + 1}}{2} = 145\]

\[x = \frac{{289 - 1}}{2} = 144\]

\[17^2 + 144{}^2 = 145^2 \]

289+20736=21025.
Невозможно не попробовать пройти этот же путь при показателе степени (2п). Кто сможет предугодать следующий шаг?

[Батороев]

Мне кажется, что, если Вы уже нашли "множители одинаковой четности" числа y, то далее несложно найти, что:
$ 900 = 2*450 = 6*150 = 10*90 $
откуда
$ 30^2 =(\frac {450 + 2}{2})^2 - (\frac {450 - 2}{2})^2 =(\frac {150 +6}{2})^2 - (\frac{150 - 6}{2})^2 = (\frac{90 + 10}{2})^2 - (\frac{90 - 10}{2})^2 $
$ 30^2 = 226^2 - 224^2 = 78^2 - 72^2 = 50^2 - 40^2 $

[Апис]

Батороев, вы привели ещё один численный пример при (d=10). Зачем?

[Батороев]

Апис писал(а):

Батороев, вы привели ещё один численный пример при (d=10). Зачем?

Я не вычислял никакие d, а просто нашел множители одинаковой четности числа $y^2 $.

[Апис]

Батороев, извините я считаю что нахождение решений уравнения

\[x^2 + y^2 = z^2 \]

в целых числах полностью закончено. И говорить в дальнейшем нужно только о нахождении решений в целых числах уравнения

\[(x^n )^2 + (y^n )^2 = (z^n )^2 \]

Для этого нужно в системе из двух уравнений

\[ \begin{gathered} 2z^n = \left[ {\tfrac{{(y^n )^2 }} {{d^2 }} + 1} \right] \cdot d \hfill \\ 2x^n = \left[ {\tfrac{{(y^n )^2 }} {{d^2 }} - 1} \right] \cdot d \hfill \\ \end{gathered} \]

найти необходимые значения (d) при которых система не теряет смысла и достаточные для того что бы делать выводы.

[Батороев]

Апис писал(а):

И говорить в дальнейшем нужно только о нахождении решений в целых числах уравнения

\[(x^n )^2 + (y^n )^2 = (z^n )^2 \]

Апис, по-моему, с БТФ на этом форуме итак уже "перебор".

[Апис]

Батороев. Так в чём дело, перейдите на другую тему или откройте свою. Замечания не по существу забивают тему мусором.

[нг]

нг:

Апис: давайте назовем это off-topic.
На этом форуме не принято говорить другим участникам, что делать. В конце концов, Батороев высказал свое мнение об актуальности темы.

[Апис]

Решение уравнения

\[(x^n )^2 + (y^n )^2 = (z^n )^2 \]

в целых числах.
Введём новое значение

\[d = z^n - x^n \]

. И так с новым значением (d) и после преобразования имеем:

\[ \begin{gathered} (z^n - d)^2 + (y^n )^2 = (z^n )^2 \hfill \\ \hfill \\ z^n = \left[ {\tfrac{{(y^n )^2 }} {{2d^2 }} + \tfrac{1} {2}} \right] \cdot d \hfill \\ x^n = \left[ {\tfrac{{(y^n )^2 }} {{2d^2 }} - \tfrac{1} {2}} \right] \cdot d \hfill \\ \end{gathered} \]

.
Ни один из простых множителей числа (d) не должен присутствовать в простых множителях чисел

\[ \begin{gathered} \left[ {\tfrac{{(y^n )^2 }} {{2d^2 }} + \tfrac{1} {2}} \right] \hfill \\ \left[ {\tfrac{{(y^n )^2 }} {{2d^2 }} - \tfrac{1} {2}} \right] \hfill \\ \end{gathered} \]

так как между этими числами разница еденица и они не могут иметь одинаковых простых множителей.
Значит любой простой множитель числа (d) должен повторятся в числах

\[ z^n x^n \]

(n) раз. То есть

\[ d = c^n \]

где с-целое число.
Остаётся расмотреть три случая при

\[ \begin{gathered} d = c^n \hfill \\ z^n = x^n + c^n \hfill \\ 1)n = 2m \hfill \\ 2)n = 2^{2^m } \hfill \\ 3)n = 2m + 1 \hfill \\ \end{gathered} \]

1) Если

\[n = 2m\]

используем метод спуска, повторяем выше приведённую операцию пока чётное число не перейдёт в нечётное.
2) если

\[n = 2^{2^m } \]

тот же метод спуска, пока не дойдём до показателя степени равный четырём, а для этого показателя теорема доказана ещё Ферма.
3)

\[n = 2m + 1\]

Третий случай расмотрим после обсуждения первых двух.

[PAV]

Во-первых, почему числа $\frac{(y^n)^2}{2d^2}\pm\frac{1}{2}$ должны получиться целыми?

Во-вторых, непонятно, зачем вообще все это нужно. Если доказано, что для показателя $n$ решений нет, то и для $2n$ решений нет, и это показывается устно.

[Апис]

....

[PAV]

Если числа не целые, а рациональные, то что Вы называете их "множителями"? Это понятие работает только для целых чисел.

Я уже написал, что если вспомогательная цель - спуск от показателя $2n$ к $n$, то это тривиально, достаточно взять тройку $(x^2,y^2,z^2)$. И нечего, как говорится, огород городить.

[Апис]

Прошу прощения, с ответом я поспешил. Всё как и в первой части работы. Значение (d) мы находим не из формулы

\[z^n - x^n = d\]

, эта формула будет использована при обратном ходе, когда значения (d) найдено, и затем, находим все остальные значения. В том то и основа решения, что (d) мы даём такие значения, завязаные на (y) через простые множители. При которых

\[ \tfrac{{(y^n )^2 }}{{2d}} \pm \tfrac{d}{2}\]

- целое число и

\[ \tfrac{{(y^n )^2 }}{{2d}} \pm \tfrac{1}{2}\]

- целое число.
Зачем это делаем?
В первом случае что бы просто не нарушалось равенство

\[ z^n = \tfrac{{(y^n )^2 }}{{2d}} + \tfrac{d}{2}\]

.
Во втором случае находим такие значения (d) при которых не только

\[ \tfrac{{(y^n )^2 }}{{2d^2 }} \pm \tfrac{1}{2}\]

- целое число, и не только что бы просто не нарушалось равенство. Но и самое главное, что бы было равно числу в степени (n).
В первом случае значения (d) есть набор простых множителей с определёнными условиями.
Во втором случае эти условия усложняются.
Всё базируется, если можно так сказать на обратном ходе. Двигаясь прямым ходом мы определяем условия существования значения (d). Двигаясь обратно по цепочке расуждений говорим только такое выражение, только в таком-то виде. Устраивает наше значение (d).

[Апис]

Метод спуска не имеет целью переход от показателя степени (2п) к показателю (п). На показателе степени (п) где

\[n = 2m + 1\]

я остановился. А до этого методом спуска было показано, что при показателях степени

\[ \begin{gathered} n = 2m \hfill \\ n = 2^{2^m } \hfill \\ \end{gathered} \]

уравнения

\[ \begin{gathered} x^{2m} + y^{2m} = z^{2m} \hfill \\ x^{2^{2^m } } + y^{2^{2^m } } = z^{2^{2^m } } \hfill \\ \end{gathered} \]

- решений в целых числах не имеют.

[Апис]

Я иногда пропускаю то, что мне кажется очевидным, забывая, что никто не обязан вникать, всё должно быть понятно с первого взгляда. Начну исправлять работу с ответов на замечания:

PAV писал(а):

Во-первых, почему числа $\frac{(y^n)^2}{2d^2}\pm\frac{1}{2}$ должны получиться целыми?

Во-вторых, непонятно, зачем вообще все это нужно. Если доказано, что для показателя $n$ решений нет, то и для $2n$ решений нет, и это показывается устно.

Решение уравнения

\[ (x^n )^2 + (y^n )^2 = (z^n )^2 \]

в целых числах
Введём новое значение (d) где

\[ d = z^n - x^n \]

\[ \begin{gathered} (z^n - d)^2 + (y^n )^2 = (z^n )^2 \hfill \\ z^n = \frac{{(y^n )^2 }} {{2d}} + \frac{d} {2} \hfill \\ \end{gathered} \]

Количество числовых значений (d) при которых

\[ \frac{{(y^n )^2 }} {{2d}} + \frac{d} {2} \]

- целое число. Находим равным количеству простых множителей полученых при факторизации числа

\[ (y^n ) \]

плюс количество сочетаний из этих простых множителей, при обязательном условии одинаковой чётности (y) (d)
Отсюда если

\[ \frac{{(y^n )^2 + d^2 }} {{2d}} \]

целое число по условию, которое гласит, число (d) состоит из простых множителей полученых при факторизации числа числа

\[ (y^n )^2 \]

то при делении числителя и знаменателя на (d) число отанется целым

\[ \begin{gathered} \frac{{(y^n )^2 + d^2 }} {{2d}} \hfill \\ \frac{{(y^n )^2 }} {2} + \frac{d} {2} \hfill \\ \end{gathered} \]

На первое замечание я ответил.
Второе замечание я не понял, где это я умидрился доказать, что решений для показателя (n) нет. Посмотрите моё предыдущее объяснение, если оно вас не устраивает, нельзя ли ещё раз повторить, в чём тривиальность. Я просто не могу понять.