Равенство из журнална Квант

[vasil1vasil]

Помогите пожалуйста решить.

$$(\frac{a}{b} +\frac{a}{c}+\frac{b}{a} +\frac{b}{c}+\frac{c}{a} +\frac{c}{b})^3 +6=\frac{a^3}{b^3}+\frac{a^3}{c^3}+\frac{b^3}{a^3}+\frac{b^3}{c^3}+\frac{c^3}{a^3}+\frac{c^3}{b^3}$$

Это равенство верно когда выполняется следущее условие:

$$a^3+b^3+c^3+\frac{(ab)^2}{c}+\frac{(ac)^2}{b}+\frac{(bc)^2}{a}+3abc=0$$

[Алексей К.]

Ну а тупо вычесть из левой части правую? С помощью ЭВМ, или без оной...

[vasil1vasil]

Укажите пожайлуста как связать разность левой и правой части с данным условием.

[Алексей К.]

Примерно так: равенство $A=B$ верно, когда $A-B=0$.
Например: равенство $(x+y)^2=x^2+y^2$ верно, когда $2xy=0$. Т.е. $xy=0$.

-- 15 апр 2012, 16:17:44 --

Вы умеете делать такие штуки на компьютере?
Можно смотреть футбол и одновременно делать вручную.

[Алексей К.]

Не, так не получается. Проще контрпример поискать.

-- 15 апр 2012, 16:33:34 --

$a=b=1$, $c=-1$.

[nnosipov]

Алексей К. в сообщении #560316 писал(а):

Не, так не получается. Проще контрпример поискать.

-- 15 апр 2012, 16:33:34 --

$a=b=1$, $c=-1$.

Это контрпример для обратного утверждения. А 1-е равенство из 2-го действительно следует.

[vasil1vasil]

Я читал книгу В. Г. Болтянского и Н. Я. Виленкина "Симметрия в алгебре" и раскладывал эти равенства на элементарные симметрические многочлены (а+b+c), (ab+ac+bc), (abc). Этим способом можно получить ответ?

[nnosipov]

vasil1vasil в сообщении #560374 писал(а):

Этим способом можно получить ответ?

В принципе да. Но повозиться придётся. Проще взять числитель из первого равенства (предварительно всё собрав в одной части) и поделить его на числитель второго равенства. Это тоже не сахар, если вручную делать, но идейно проще.

[vasil1vasil]

Так надо делить $\frac{a^6 b^3+a^6 c^3+b^6 a^3+b^6 c^3+c^6 a^3+c^6 b^3}{a^3 b^3+a^3 c^3+b^3 c^3 }$?

[Батороев]

Можно попробовать произвести замену: $x=\dfrac{a}{b}$, $y=\dfrac{c}{a}$, $z=\dfrac{b}{c}$, предварительно поделив второе уравнение на $abc$.

-- 16 апр 2012 20:26 --

p.s. При этом иметь в виду, что $xyz=1$.

[hippie]

Заметим, что $a^3+b^3+c^3+\frac {(ab)^2}c+\frac {(ac)^2}b+\frac {(bc)^2}a+3abc=abc\left(\frac ab+\frac bc+\frac ca \right)\left(\frac ba+\frac cb+\frac ac \right).$
Таким образом либо $\frac ab +\frac bc +\frac ca =0$ либо $\frac ba +\frac cb +\frac ac =0.$
Не уменьшая общности можно считать, что $\frac ab+\frac bc+\frac ca =0.$
Тогда равенство $\left(\frac ab +\frac ac+\frac ba +\frac bc +\frac ca +\frac cb \right)^3 +6=\frac{a^3}{b^3}+\frac{a^3}{c^3}+\frac{b^3}{a^3}+\frac{b^3}{c^3}+\frac{c^3}{a^3}+\frac{c^3}{b^3}$ переписывается в виде $\left(\frac ba +\frac cb +\frac ac\right)^3 = \frac {a^3}{b^3} +\frac {b^3}{c^3} +\frac {c^3}{a^3} -3 +\frac {b^3}{a^3} +\frac {c^3}{b^3} +\frac {a^3}{c^3}-3 =$ $=\left(\frac ab +\frac bc +\frac ca \right)\left(\frac {a^2}{b^2} +\frac {b^2}{c^2} +\frac {c^2}{a^2} -\frac ba -\frac cb -\frac ac\right) + \left(\frac ba +\frac cb +\frac ac \right)\left(\frac {b^2}{a^2} +\frac {c^2}{b^2} +\frac {a^2}{c^2} -\frac ab -\frac bc -\frac ca\right),$ т.е. $\left(\frac {b^2}{a^2} +\frac {c^2}{b^2} +\frac {a^2}{c^2} +2\frac ab +2\frac bc +2\frac ca\right) = \left(\frac {b^2}{a^2} +\frac {c^2}{b^2} +\frac {a^2}{c^2} -\frac ab -\frac bc -\frac ca\right).$

[vasil1vasil]

спасибо, задачу решил......