Задача по урчп (колебание струны)

[CptPwnage]

Здравствуйте.
Я решал следующую задачу: Найти значения $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ при которых существует решения $u \in C^2(\overline{Q})$ смешанной задачи
$u_{xx}=u_{tt}$ с краевыми условиями
$\left. u\right|_{x=0} = 0$ и $\left. u\right|_{x=\pi} = 0$
и начальными условиями
$\left. u\right|_{t=0} = \alpha x^4+\beta x^2 +\sin x $
$\left. u_{t}\right|_{t=0} = \gamma \cos x $
в квадрате $\overline{Q}=[0,\pi] \times [0,\pi]$.
Сначала найдем $\gamma$. Т.к. струна закреплена, то скорость на концах струны равна $0$ : $\left. u_t\right|_{x=0} = (\left. u\right|_{x=0})_t=0$,аналогично при $x=\pi$. Отсюда получаем $\gamma=0$.
Теперь условие на $\alpha$ и $\beta$. Из согласованности $u(0,\pi)=0$,т.е. $\alpha\pi^4 +\beta\pi^2=0$.
А вот как дальше искать $\alpha$ и $\beta$ не понятно. Вроде по методу Фурье получится решение в виде ряда
$\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\cos kt \sin kx $, где $a_k$ коэффициенты разложения по синусам $\alpha x^4+\beta x^2 +\sin x$.
Казалось бы, надо использовать условие $u \in C^2(\overline{Q})$ и получить что $\alpha$ и $\beta$ равны $0$. Но как?

[Vince Diesel]

Раз решение из $C^2$, то уравнение удовлетворяется (по непрерывности) и в точках $(0,0)$ и $(0,\pi)$. А производные, входящие в уравнение, в этих точках выражаются через начальную и играничные функции. Отсюда получается два условия на параметры.

[CptPwnage]

Большое спасибо, получилось. Примерно так и думал.