Не могу понять убывает ли знакочередующейся ряд по модулю

[chzenchzen]

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}\frac{(n+1)^{n}}{(2n+1)^{n}}$

Исследуем данный ряд по признаку Лейбница, тогда
$\lim\limits_{n \to \infty}|a_{n}|=\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{n+1}{2n+1})^{n}=$

Не могу понять как выяснить убывает ли показательный предел (эмпирически выяснил что убывает ), все остальное знаю как решать.

[miflin]

Если предел основания меньше единицы, а показатель неограниченно
возрастает, то что?..

[chzenchzen]

miflin в сообщении #560151 писал(а):

Если предел основания меньше единицы, а показатель неограниченно
возрастает, то что?..

стремится к 0. Спасибо большое.

[bot]

chzenchzen в сообщении #560149 писал(а):

Исследуем данный ряд по признаку Лейбница

А зачем здесь Лейбниц с хилой сходимостью?

[chzenchzen]

А разве не так?

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}\frac{(n+1)^{n}}{(2n+1)^{n}}$

Исследуем данный ряд по признаку Лейбница, тогда

$\lim\limits_{n \to \infty}|a_{n}|=\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{n+1}{2n+1})^{n}=0$, так как основание предела меньше единицы $(n+1<2n+1)$ и показатель стремится к бесконечности.

Предел $\lim\limits_{n \to \infty}|a_{n}|$ стремится к нулю, следовательно члены ряда $\sum\limits^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}\frac{(n+1)^{n}}{(2n+1)^{n}}$ убывают по модулю, следовательно ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость по радикальному признаку Коши:

$\sum\limits^{\infty}_{n=1}|a_n|=\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{(n+1)^{n}}{(2n+1)^{n}}$

$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{n+1}{2n+1})^n}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n+1}{2n+1}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}^{\rightarrow{}0}}{2+\frac{1}{n}^{\rightarrow 0}}=\frac{1}{2}<1$

Таким образом, ряд $\sum\limits^{\infty}_{n=1}|a_n|$ сходится .

Исследуемый ряд $\sum\limits^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}\frac{(n+1)^{n}}{(2n+1)^{n}}$ сходится абсолютно.

[ewert]

chzenchzen в сообщении #560158 писал(а):

Предел $\lim\limits_{n \to \infty}|a_{n}|$ стремится к нулю, следовательно члены ряда $\sum\limits^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}\frac{(n+1)^{n}}{(2n+1)^{n}}$ убывают по модулю

Во-первых, это неверно. Во-вторых, это не нужно.

[chzenchzen]

А почему неверно? И почему ненужно? Как тогда решать такое задание?

[ИСН]

Вот последовательность (не Ваша, другая): $1,\,0,\,{1\over2},\,0,\,{1\over3},\,0,\,{1\over4},\,0...$ Она стремится к нулю? Она убывает по модулю?

-- Вс, 2012-04-15, 11:10 --

А как решать - у Вас уже всё решено, теперь остаётся понять, почему.

[ewert]

chzenchzen в сообщении #560201 писал(а):

Как тогда решать такое задание?

Как соотносятся просто сходимость и абсолютная сходимость?

[chzenchzen]

ewert в сообщении #560204 писал(а):

chzenchzen в сообщении #560201 писал(а):

Как тогда решать такое задание?

Как соотносятся просто сходимость и абсолютная сходимость?

На этот вопрос я не могу ответить. Единственное что я знаю, это то что если ряд с "мигалкой", то решаем по признакам сходимости Лейбница, а следовательно чтобы ряд абсолютно сходился он должен убывать и сходиться по модулю. А вот как сходимость с абсолютной сходимостью соотносятся я не знаю.

[ИСН]

Так задумайтесь над этим. Если ряд сходится, то что можно сказать про его абсолютную сходимость? Да? Нет? Неизвестно? Или может, в обратную сторону: если ряд абсолютно сходится, то что можно сказать про его сходимость?

[chzenchzen]

ИСН в сообщении #560202 писал(а):

Вот последовательность (не Ваша, другая): $1,\,0,\,{1\over2},\,0,\,{1\over3},\,0,\,{1\over4},\,0...$ Она стремится к нулю? Она убывает по модулю?

Ну на мой неграмотный взгляд, да и да. Вы пытаетесь сказать что убывание по модулю и стремление к нулю, это одно и тоже?

[ИСН]

Ещё раз, пожалуйста, медленно:

ИСН в сообщении #560202 писал(а):

$1,\,0,\,{1\over2},\,0,\,{1\over3},\,0,\,{1\over4},\,0...$ Она стремится к нулю? Она убывает по модулю?

Цитата:

$1,\,0,\,{1\over2}...$ Она убывает по модулю?

Цитата:

$1,\,0,\,{1\over2}...$

Цитата:

$0,\,{1\over2}...$

[bot]

.....

(Оффтоп)

Цитата:

$0$

Цитата:

$\emptyset$

[miflin]

(Оффтоп)

chzenchzen
Если Вы студент техвуза, то не обращайте внимания на скучающих снобов.
Ваше решение верно.

Если Ваше будущее - математик, то пошлите меня на три буквы.