Решение системы дифуравнений второго порядка

[Maxim12]

Доброго времени суток!
Столкнулся с проблемой того, что не могу подобрать тот метод которым можно решить эту систему.
Метод преобразовнаия Лапласса не предлагать, потому что это система уже преобразована из системы диф уравнений в частных производных к такой, при помощи метода преобразований Лапласса.
$a_0y''=-a_1x+a_2y-a_3\exp(-a_4t)+a_5$
$a_6x''=a_7x-a_8y+a_9$
Задача Коши
$y'(0)=a_{10}$
$y(0)=0$
$x'(0)=a_{11}$
$x(0)=0$
$a_n=\operatorname{const}$
Буду благодарен если окажете помощ.

[Padawan]

Это ж линейная система с постоянными коэффициентами. Ну выразите $y$ из второго уравнения и подставьте в первое. Получится линейное (неоднородное) уравнение с постоянными коэффициентами четвертого порядка относительно $x$. Дальше корни хар многочлена надо находить. Т.к. коэффициенты $a_n$ общего вида, то ничего хорошего не получится (можно, конечно, попытаться метод Феррари вспомнить, но оно Вам надо?).

[ewert]

Padawan в сообщении #559872 писал(а):

Т.к. коэффициенты $a_n$ общего вида, то ничего хорошего не получится

Должно получиться: это же уравнение вида $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}''=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$

[мат-ламер]

Если надо формулу в общем виде, то можно сначала введением дополнительных переменных избавиться от второй производной. Затем применить формулу Коши с матричной экспонентой.

[Padawan]

ewert в сообщении #559879 писал(а):

Padawan в сообщении #559872 писал(а):

Т.к. коэффициенты $a_n$ общего вида, то ничего хорошего не получится

Должно получиться: это же уравнение вида $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}''=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$

И что? Не понял... Да, и Вы забыли неоднородное слагаемое. Хотя оно и не принципиально.

[Maxim12]

Спасибо, с этим разобрался! Но есть сложность в том что впринципе я написал упрощенный вариант.
Сложность в том, что в задаче Коши производные первого порядка в точках 0 даны в зависимости от X и Y.
Такое вообще возможно или я чего то не понял в условии задачи??))

[Padawan]

Вероятно, Вы имеете ввиду, что начальные условия имеют вид $x(t_0)=x_0, y(t_0)=y_0, x'(t_0)=f(x_0,y_0), y'(t_0)=g(x_0,y_0)$ ? Если так, то это нормально.

[ewert]

Padawan в сообщении #559884 писал(а):

И что? Не понял...

Это означает, что корни характеристического уравнения суть плюс-минус корни из собственных чисел этой матрицы и, следовательно, могут быть выписаны явно безо всяких феррарей. Каким бы способом то характеристическое уравнение не получать; хотя бы и методом Лапласа, не понимаю, отчего он попал под запрет.

[Maxim12]

Ну щас напишу как я понял)) просто там физическая задача, разбираться не вполне просто)
$y'(0)=a(Y+a)^2\exp(-(a/(Y+a)))$
a - какие то разные константы))

[Padawan]

ewert
Понял.

[Maxim12]

Объясняю про Лапласса он под запретом потому что изначально уравнение было в частных производных и соответственно то уравнение которое я вам представил для расмотрение уже преобразовано преобразованием Лапласса. Или дважды преобразовывать уравнение Лаплассом можно?

[Maxim12]

Решил в общем виде но получается при задаче Коши не хватает начальных данных так как четвертый порядок получается нужны 4ре началных условия для каждой функции или я опять чего не понимаю?