Адиабатический инвариант

[Xblow]

В полости формы окружности (плоский случай) движется шарик со скоростью $v$. Все удары абсолютно упругие, каждый раз при ударе угол между векторами скорости и радиуса равен $\alpha$. Начальный радиус полости $R$.
В некоторый момент начинают очень медленно равномерно сжимать полость то того времени, пока радиус не станет равным $r$. Найти конечный угол $\alpha$ и скорость $v$.

[dovlato]

Очевидно, сохраняется момент импульса. Но использовать это я не сподобился. Тупо разлагал величины по малой скорости изменения радиуса..кошмар. Если не наврал, то получается

$$\alpha=\operatorname{const}; R(t)v(t)=\operatorname{const}$$

[obar]

Инвариант $pr=const$ получается сразу из таких соображений. Наполним полость большим числом таких шариков и будем это рассматривать как газ невзаимодействующих частиц. Несложно посчитать давление на стенки такого газа и работу по его сжатию. Приравнивая эту работу к изменению энергии получаем $\dot{r}p+\dot{p}r=0$, т.е. $pr=const$. В комбинации с инвариантом $pr\sin\alpha=const$ это дает $\alpha=const$.

[obar]

По мотивам этой задачи предлагаю такую.

Точечный источник света расположен под графиком некоторой монотонно убывающей выпуклой вниз функции $f$ такой, что $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0$. Лучи зеркально отражаются от графика $f$ и оси $x$. Может ли при этом быть освещенной вся область под графиком?

[Xblow]

Ответ скорее всего правильный (задачу видел давно, но вряд ли перепутал).

dovlato, можете выложить выкладки? Я пытался посчитать, но у меня не вышло.

obar, действительно, замена на газ очень помогла! Что у вас обозначает $p$? Я могу получить $vR=const$, а потом вспомнить о моменте импульса, а как по-другому?

[obar]

Xblow в сообщении #560006 писал(а):

Что у вас обозначает $p$?

В обозначениях я не оригинален, $p$ -- импульс шарика.

[Xblow]

Я так и думал Откуда инвариант $pr\cdot \sin\alpha$?

[obar]

Xblow в сообщении #560024 писал(а):

Откуда инвариант $pr\cdot \sin\alpha$?

А это момент импульса. Момент импульса может изменяться только если есть момент силы. Но при отражении шарика сила реакции направлена к центру и момента на создает.

[dovlato]

Xblow в сообщении #560006 писал(а):

dovlato, можете выложить выкладки?

Давайте приведу только исходные равенства. Положено, что при отражении от стенки происходят изменения $V_1= V+\Delta V; \alpha_1= \alpha+\Delta \alpha.$
Отдельно для радиальной и для тангец. составляющих скоростей получаем уравнения, являющие приближениями 1-го порядка

$$(V+\Delta V)(sin \alpha+cos \alpha \Delta \alpha)=V sin\alpha$$

$$(V+\Delta V)(cos \alpha-sin \alpha \Delta \alpha)=V cos\alpha-2\frac{dR}{dt}$$

$$\frac{sin \alpha_2}{R}=\frac{sin \alpha_1}{R+\Delta R}$$

Ну и ещё кое-какие геометрические соотношения, вспомнил теорему синусов)).
Потом выделяем дифференциалы первого порядка..В общем, занудство.

-- Сб апр 14, 2012 22:10:55 --

obar в сообщении #559961 писал(а):

По мотивам этой задачи предлагаю такую....
Может ли при этом быть освещенной вся область под графиком?

Практически нет, если, конечно, функция не обращается в нуль при конечном значении икс.
Я как-то посылал в "Квант" аналогичную задачу: точка, упруго отражающаяся от стенок двугранного угла. Так вот, там точка проходила на минимальном расстоянии от ребра угла, равном прицельному расстоянию. И, значит, точка может попасть в это ребро только прямой наводкой.
В вашем случае ещё менее благоприятные условия для проникновения в дальнюю область, так как одна из стенок выгнута внутрь. В принципе, можно задаться распределением излучаемой мощности по углу, и конкретной функцией - и решать задачу о распределении мощности на разных расстояниях.. Однако, целую диссертацию можно накропать)).