Свободная группа

[geniy88]

Здравствуйте! У меня вопрос по комбинаторной теории групп.

Теорема: Если $a,b \in F(X)$ и $a^{n}=b^{n}$ тогда $a=b$
Доказательство этой теоремы начинается так:

$a=u^{-1} \widehat{a} u$

$b=v^{-1} \widehat{b} v$

Непонятно почему $a$ и $b$ имеют такое представление если $a$ и $b$ принадлежат $F(X)$, где $F(X)=<X>$

-- Пт апр 13, 2012 17:36:55 --

еще $\widehat{a}=a^{-1}$

[Sonic86]

geniy88 в сообщении #559655 писал(а):

Непонятно почему $a$ и $b$ имеют такое представление если $a$ и $b$ принадлежат $F(X)$, где $F(X)=<X>$

$X$ - произвольное множество (необязательно мощности 1). (если Вас это смущает).
Иначе так: мы просто ищем циклическое сокращение слова. Т.е. берем $a$ в сокращенном виде. Если слева в записи стоит буква $x\in X \cup X^-$, а справа - $x^{-1}$, то отрезаем эти обе буквы. Это действие выполняем до того момента, пока это возможно. В результате мы и получим некое $\widehat{a}$, а то, что мы в итоге отрезали слева и справа - это как раз $u$ и $u^{-1}$, так что $a\equiv u \widehat{a} u^{-1}$.
Для $b$ аналогично.

-- Пт апр 13, 2012 14:41:24 --

geniy88 в сообщении #559655 писал(а):

еще $\widehat{a}=a^{-1}$

Да ну , само по себе это ниоткуда не следует.

И вообще, мы же этот вопрос разбирали... ааа нет, здесь не степень единицы... ну значит придется Вам со словами все-таки помучаться

[geniy88]

ок, спасибо ... тут $u$ также может быть равно $e$ вот это меня и смутило.

[Sonic86]

geniy88 в сообщении #559666 писал(а):

тут $u$ также может быть равно $e$ вот это меня и смутило.

А, ну да, конечно.

[geniy88]

Sonic86, тут в книге по которой я занимаюсь под $\widehat{a}$ сначала понималось $a^{-1}$, а в следующем параграфе так обозначили циклическое сокращение, вот я и запутался. Спасибо еще раз!