Выход из лабиринта

[Dave]

Пусть $L$ - компакт (замкнутое ограниченное множество) на плоскости, не содержащее замкнутой Жордановой кривой (т.е. образ непрерывного инъективного отображения окружности), а $A$ и $B$ - точки плоскости, не принадлежащие $L$. Обязательно ли существует путь из $A$ в $B$ (непрерывная кривая, соединяющая $A$ и $B$), не пересекающийся с $L$?

[hippie]

Ответ: не обязательно.

Составим искомый компакт из графика функции $y=\sin \frac 1{x^2-1}$ на интервале $(-1;\ 1)$ и отрезков $y\in [-1;\ 3], x=\pm 1$ и $x\in [-1;\ 1], y=3.$
В этом случае точки $(0;\ 2)$ и $(0;\ -2)$ невозможно соединить, не пересекая $L.$

[Dave]

Да, мой пример был похожим: $y=\sin \frac 1 x$, $x \in (0,\frac 2 \pi)$, дополненный тремя отрезками.

Часть 2. Тот же вопрос, если $L$ - открытое ограниченное множество на плоскости, никакая замкнутая Жорданова кривая внутри которого не содержит внутри ограничиваемой ей области ни одной из точек $A$ и $B$.

[hippie]

2.
Тот же вопрос и тот же ответ . И даже конструкция похожая!

Область $L$ — разность между (открытым кругом радиуса 2 с центром в 0) и (объединением графика $y=\sin \frac 1x$ с отрезком $-1\le y \le 1;\ \ x=0$).

Это множество открыто (как разность открытого и замкнутого) и стягиваемо по себе.

При этом точки $(0;\ 0)$ и $(3;\ 0)$ невозможно соединить, не пересекая $L.$

[Dave]

Часть 2b. А если дополнительно каждая из точек $A$ и $B$ отделима от $L$ некоторой окрестностью?

[hippie]

То выбросим ещё и левый полукруг радиуса 1 с центром в 0. И вместо точки $(0;\ 0)$ возьмём точку $(-\frac 12;\ 0).$

[Dave]

Пусть есть некоторая точка $C$ на плоскости. Обозначим через $G_C$ класс всех множеств плоскости, для каждого из которых существует такая его $\varepsilon$-окрестность ($\varepsilon>0$), что никакая замкнутая Жорданова кривая внутри этой окрестности не содержит внутри ограничиваемой ей области точку $C$.
Примечание. $\varepsilon$-окрестность включает, по определению, само множество, окрестность которого берётся.

Часть 3. Тот же вопрос, что и в самом начале, когда $L$ - ограниченное множество на плоскости, любая линейно-связная компонента которого принадлежит $G_A \cap G_B$.

[hippie]

А разве мой первый пример не подходит?

Линейно-связные компоненты:
график функции $y=\sin \frac 1{x^2-1}$ на интервале $(-1;\ 1)$;
ломаная, состоящая из отрезков $y\in [-1;\ 3], x=\pm 1$ и $x\in [-1;\ 1], y=3.$

Каждая из компонент попадает в пересечение $G_A\cap G_B.$

[Dave]

Да, подходит. Совсем про него забыл . Тогда

Часть 3b. Пусть для каждой линейно-связной компоненты некоторого ограниченного множества $L$ на плоскости можно выбрать некоторую её $\varepsilon$-окрестность так, что объединение всех этих окрестностей не содержит целиком никакую замкнутую Жорданову кривую, содержащую, в свою очередь, внутри ограничиваемой ей области какую-либо из точек $A$ и $B$. Обязательно ли тогда существует путь из $A$ в $B$, не пересекающийся с $L$?