Ангельские треугольники.

[Sirion]

Будем подвергать прямоугольный треугольник следующему итеративному процессу: на первой итерации опускаем высоту из вершины прямого угла, получив, в дополнение к исходному, два новых прямоугольных треугольника. На каждой следующей итерации будем проводить высоты одновременно во всех треугольниках, появившихся на прошлой итерации.

Дьявольским треугольником назовём прямоугольный треугольник, из которого на некоторой итерации получается ровно 666 различных (неконгруэнтных) треугольников, считая сам исходный треугольник. К примеру, равнобедренный прямоугольный треугольник является дьявольским: на каждой итерации количество различных полученных треугольников увеличивается на 1, соответственно, на 665-ой итерации их станет 666. Практически каждый прямоугольный треугольник (кроме тех, чьи углы связаны некоторым специальным соотношением) является дьявольским - требуемое количество различных треугольников достигается на 35-ой итерации.

Ангельским треугольником назовём прямоугольный треугольник, не являющийся дьявольским. Вопрос задачи: сколько (с точностью до подобия) существует ангельских треугольников?

[Dave]

Ответ: 369 треугольников.

Если $\alpha$ - меньший угол искомого треугольника, то он должен удовлетворять условию

$$\sin^2 \alpha+\sin^{2t} \alpha=1,$$

где $t$ - одно из 369 чисел:

1/35, 1/34, 1/33, 1/32, 1/31, 1/30, 1/29, 1/28, 1/27, 1/26, 1/25, 1/24, 1/23, 1/22, 1/21, 1/20, 1/19, 1/18, 2/35, 1/17, 2/33, 1/16, 2/31, 1/15, 2/29, 1/14, 2/27, 1/13, 2/25, 3/35, 2/23, 3/34, 1/11, 3/32, 2/21, 3/31, 1/10, 3/29, 2/19, 3/28, 4/35, 3/26, 2/17, 3/25, 4/33, 1/8, 4/31, 3/23, 2/15, 3/22, 4/29, 1/7, 5/34, 4/27, 3/20, 5/33, 2/13, 5/32, 3/19, 4/25, 5/31, 1/6, 6/35, 5/29, 4/23, 3/17, 5/28, 2/11, 5/27, 3/16, 4/21, 5/26, 6/31, 1/5, 7/34, 6/29, 5/24, 4/19, 7/33, 3/14, 5/23, 7/32, 7/31, 5/22, 8/35, 3/13, 7/30, 4/17, 5/21, 6/25, 7/29, 8/33, 9/35, 8/31, 7/27, 6/23, 5/19, 9/34, 4/15, 7/26, 3/11, 8/29, 5/18, 7/25, 9/32, 2/7, 9/31, 7/24, 5/17, 8/27, 3/10, 10/33, 7/23, 4/13, 9/29, 5/16, 11/35, 6/19, 7/22, 8/25, 9/28, 10/31, 11/34, 12/35, 11/32, 10/29, 9/26, 8/23, 7/20, 6/17, 11/31, 5/14, 9/25, 4/11, 11/30, 7/19, 10/27, 13/35, 3/8, 11/29, 8/21, 13/34, 5/13, 12/31, 7/18, 9/23, 11/28, 13/33, 2/5, 13/32, 11/27, 9/22, 7/17, 12/29, 13/31, 8/19, 11/26, 14/33, 3/7, 13/30, 10/23, 7/16, 11/25, 15/34, 13/29, 9/20, 14/31, 5/11, 16/35, 11/24, 6/13, 13/28, 7/15, 15/32, 8/17, 9/19, 10/21, 11/23, 12/25, 13/27, 14/29, 15/31, 16/33, 17/35, 1/2, 18/35, 17/33, 16/31, 15/29, 14/27, 13/25, 12/23, 11/21, 10/19, 9/17, 17/32, 8/15, 15/28, 7/13, 13/24, 19/35, 6/11, 17/31, 11/20, 16/29, 19/34, 14/25, 9/16, 13/23, 17/30, 4/7, 19/33, 15/26, 11/19, 18/31, 17/29, 10/17, 13/22, 16/27, 19/32, 3/5, 20/33, 17/28, 14/23, 11/18, 19/31, 8/13, 21/34, 13/21, 18/29, 5/8, 22/35, 17/27, 12/19, 19/30, 7/11, 16/25, 9/14, 20/31, 11/17, 13/20, 15/23, 17/26, 19/29, 21/32, 23/35, 23/34, 21/31, 19/28, 17/25, 15/22, 13/19, 24/35, 11/16, 20/29, 9/13, 16/23, 23/33, 7/10, 19/27, 12/17, 17/24, 22/31, 5/7, 23/32, 18/25, 13/18, 21/29, 8/11, 19/26, 11/15, 25/34, 14/19, 17/23, 20/27, 23/31, 26/35, 25/33, 22/29, 19/25, 16/21, 13/17, 23/30, 10/13, 27/35, 17/22, 24/31, 25/32, 18/23, 11/14, 26/33, 15/19, 19/24, 23/29, 27/34, 4/5, 25/31, 21/26, 17/21, 13/16, 22/27, 9/11, 23/28, 14/17, 19/23, 24/29, 29/35, 5/6, 26/31, 21/25, 16/19, 27/32, 11/13, 28/33, 17/20, 23/27, 29/34, 6/7, 25/29, 19/22, 13/15, 20/23, 27/31, 7/8, 29/33, 22/25, 15/17, 23/26, 31/35, 25/28, 17/19, 26/29, 9/10, 28/31, 19/21, 29/32, 10/11, 31/34, 21/23, 32/35, 23/25, 12/13, 25/27, 13/14, 27/29, 14/15, 29/31, 15/16, 31/33, 16/17, 33/35, 17/18, 18/19, 19/20, 20/21, 21/22, 22/23, 23/24, 24/25, 25/26, 26/27, 27/28, 28/29, 29/30, 30/31, 31/32, 32/33, 33/34, 34/35.

[Dave]

Такие дроби $t=\frac m n$ определяются из условий:
1) $m$ и $n$ - взаимно простые натуральные числа.
2) $m<n<36$.
3) Уравнение $\frac {n(n+1)} 2+kn=666$ не имеет решений в неотрицательных целых числах $k$. Таким образом, среди $n<36$ отпадают знаменатели $1,3,4,9,12$.

[Sirion]

Совершенно верно.

[Dave]

(Оффтоп)

Вспомнилась, когда я решал эту задачу: There Must Be An Angel.