Задание, связанное со свойствами параллелограмма

[BENEDIKT]

Задание:
В параллелограмме $ABCD$ проведена биссектрисса угла A, пересекающая отрезок BC в т. E. Чему равны отрезки $BE$ и $EC$, если $AB=9$ см, $AD=15 $см?

Насколько я понимаю, задание легко решается посредством использования одного из свойств параллелограмма: биссектриса отсекает от него равнобедренный треугольник. Этим треугольником будет $ABE$ с основанием $AE$. Тогда $BE=AB=9$ см; $EC=BC-BE=15-9=6$ см.

Хотелось бы задать вопрос: можно ли решить задание без использования этого свойства? И вообще, рассматривается ли это свойство в школьной программе? Дело в том, что его нет в учебнике Погорелова, а задание - оттуда. И насколько вообще хорош учебник Погорелова? Такое ощущение, что многое в нём "опускается" (например, несколько свойств параллелограмма).

[Хорхе]

BENEDIKT в сообщении #558497 писал(а):

Хотелось бы задать вопрос: можно ли решить задание без использования этого свойства?

Можно, но зачем? Свойство вполне элементарное.

[contrl]

Если этого свойства не приведено в учебнике, то его легко доказать по свойству смежных углов.

Т.к. АЕ – биссектриса угла А, то угол ВАЕ = углу ЕАD.
Т.к. АВСD – параллелограмм, то АД‌ //‌ ‌‌ВС , значит угол EAD = углу BEA как внутренние накрест лежащие углы для секущей АE.
Значит, угол ВАЕ = углу ВЕА, тогда  ∆ АВЕ – Равнобедренный.
А дальше все как вы и написали

[BENEDIKT]

Хорхе в сообщении #558500 писал(а):

Можно, но зачем? Свойство вполне элементарное.

Да, просто его нет в учебнике, что и насторожило.

contrl в сообщении #558509 писал(а):

Если этого свойства не приведено в учебнике, то его легко доказать по свойству смежных углов.

Благодарю.

И всё же - насколько хорош учебник Погорелова?

[ewert]

BENEDIKT в сообщении #558497 писал(а):

можно ли решить задание без использования этого свойства?

Нельзя: если этого свойства не знать, то оно обязательно будет выведено в ходе решения.

[contrl]

Цитата:

И всё же - насколько хорош учебник Погорелова?

Не знаю насколько он хорош, я учился по нему, вроде не плохо знаю математику. Я думаю многое зависит от преподавателя, а не от учебника. В свое время при поступление в вуз, не смог вспомнить какое то свойство, в результате через окольные пути доказал его же и решил задачу, думаю это благодаря тому что не все было расписано в учебнике и нас тренировали выводить решения, а не пользоваться готовыми.

[gris]

И не обязательно (выводиь это свойство). Можно сосредоточится на поиске отрезка $EC$, не трогая даже $\triangle ABE$. Кстати, в данной задаче совершенно невозбранно считать параллелограмм прямоугольником.

У Погорелова довольно много ценных теорем приведены именно в задачах для самостоятельного решения. Например, многие обратные теоремы. Признаки того же параллелограмма. Куча признаков типа "Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны/диагональ является биссектрисой/можно вписать окружность/и т.д. то это — ромб.
Даже перечисление формулировок теорем займёт много места. А ведь любая задача на доказательство это теорема, раскрывающая подчас весьма интересное и полезное свойство. Поэтому для хорошей подготовки наряду с учебником, дающим основной маршрут по теории, надо использовать задачники.

[BENEDIKT]

Благодарю всех за ответы.