Неопределённый интеграл от показательных функций

[chesas]

Помогите разобраться с таким вот простеньким интегральчиком:
$\int{{(2^{2x}+2^{\frac1x})}^2 dx}$
Пробовал воспользоваться подстановкой $\frac1x=\log_4t$, но как быть со вторым слагаемым?

[alcoholist]

через элементарные функции не выражается

или Вы ожидали другого ответа?

[Александрович]

chesas в сообщении #557768 писал(а):

Помогите разобраться с таким вот простеньким интегральчиком:
$\int{{(2^{2x}+2^{\frac1x})}^2 dx}$

А если возвести в квадрат и сумму раскидать на 3 интеграла?

[chesas]

Ничего я не ожидал. Просто необходимо решить и всё тут. Спасибо Александрович. Именно об этом я и писал: так вот, в этом случае первый и последний интеграл берётся, а вот удвоенное произведение никак. И ответ получается уж очень громоздким — начал сомневаться в правильности хода решения.

[alcoholist]

chesas в сообщении #557834 писал(а):

и последний интеграл берётся

и чему в элементарных функциях равна первообразная

$$ \int 2^{\frac{2}{x}}dx? $$

[Александрович]

chesas в сообщении #557834 писал(а):

так вот, в этом случае первый и последний интеграл берётся, а вот удвоенное произведение никак.

Разве? А я насчет последнего интеграла задумался.

[chesas]

Спасибо за участие. Сейчас отпишусь — чуточку занят.

-- 08.04.2012, 13:53 --

Делаем замену переменной:
$\frac2x=log_2{t}$
и получаем вполне берущийся интеграл:
$\int{\frac{t}{t-4}dt}$

[alcoholist]

chesas в сообщении #557882 писал(а):

Делаем замену переменной:
$\frac2x=log_2{t}$
и получаем вполне берущийся интеграл:

и получаем монстрика

$$ -\frac{2}{\ln 2}\int\frac{dt}{(\log_2 t)^2} $$

[chesas]

Выходит, что я ошибался. А у меня получилось вот так:
$I=\int{2^{\frac2x}dx}$
$\frac2x=\log_2t$ откуда $dx=\frac1{(t-4)\ln2}dt$
Итого: $I=\int{\frac{t}{(t-4)\ln2}dt}$

[alcoholist]

$$ x=\frac{2}{\log_2t}=\frac{2\ln 2}{\ln t} $$

$$ dx=\frac{d}{dt}\left(\frac{2\ln 2}{\ln t}\right)dt=-\frac{2\ln 2}{t(\ln t)^2}\,dt= -\frac{2}{t\ln 2\,(\log_2 t)^2}\,dt $$

исправил

[chesas]

Конечно же Вы правы, я и не сомневался, только вот ошибку не мог найти. Теперь всё ясно, спасибо. В последнем выражении в знаменателе лишь упустили t, да и с dt, что-то у Вас неладное творится, ну да это мелочи. Больше всего, что в моём примере ошибка в условии, вместо двойки надо было бы е. Не так ли?

[alcoholist]

chesas в сообщении #558087 писал(а):

вместо двойки надо было бы е. Не так ли?

принципиально это ничего не изменит -- по-прежнему в элементарных функциях не интегрируется