Суть аксиомы выбора (хотя бы счётной) - никак не пойму

[lekma_axioma]

Время от времени, возвращаясь к пресловутой AC, я понимаю, что смысл её от меня ускользает всё дальше и дальше. Возьмём хотя бы счётный вариант AC.
Ну, допустим, существует некоторое счётное множество $S$. Почему мы не имеем права на каждом шаге упорядочивания брать любой элемент множетва? К примеру, построим рекурсивную биекцию $f\colon\mathbb{N}\to S$
$f(0) = $любой элемент множества $S$
$f(n) = $любой элемент множества $S\setminus f([0, n-1])$
Таким образом, обратная биекция g задаст порядок на этом множестве:
$x\leqslant y \Leftrightarrow g(x)\leqslant g(y)$
В чём подвох? Я не понимаю:(

Т.е. больше всего вопросов у меня вызывает тот факт, что для существования функции выбора обязательно нужно некоторое проавило. Почему мы не можем брать случайный элемент?

Или вот, теперь про несчётную AC, на примере множества $[0, 1]\subset\mathbb{R}$: определим $T$ как множество всех функций вида $f\colon L\to[0, 1]$, где $L$ - мн-во подмножеств $[0, 1]. Мы ведь имеем такое право? Но среди этих функций обязательно найдётся такая ф-я $g$, что каждому подмножеству $[0, 1]$ будет ставить в соответствие некоторый его элемент. Иначе, мы добавим её к $T$ и получим противоречие. Т.о. $g$ - функция выбора на подмножествах мн-ва $[0, 1]$
Т.е. суть та же, что и в предыдущем примере: $g(X) = $ случайному, по сути, элементу $x\in X$

Я понимаю, что чего-то очень и очень не понимаю, но, умоляю, ткните носом в это "чего-то"?:(

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

оформите все формулы в своем сообщении

[Toucan]

Вернул.

[apriv]

lekma_axioma в сообщении #556701 писал(а):

Время от времени, возвращаясь к пресловутой AC, я понимаю, что смысл её от меня ускользает всё дальше и дальше. Возьмём хотя бы счётный вариант AC.
Ну, допустим, существует некоторое счётное множество $S$. Почему мы не имеем права на каждом шаге упорядочивания брать любой элемент множетва?

Любое счетное множество $A$ можно вполне упорядочить без всякой аксиомы выбора: возьмем биекцию $f\colon A\to\mathbb N$ и положим $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $f(x)\leq f(y)$.

Цитата:

Т.е. суть та же, что и в предыдущем примере: $g(X) = $ случайному, по сути, элементу $x\in X$

Это сопоставление не обязательно будет отображением.

[lekma_axioma]

apriv в сообщении #557003 писал(а):

Любое счетное множество $A$ можно вполне упорядочить без всякой аксиомы выбора: возьмем биекцию $f\colon A\to\mathbb N$ и положим $x\leq y$ тогда и только тогда, когда $f(x)\leq f(y)$.

Ой, ну да, чертовски логично... Ну и отлично, ещё лучше! Тогда вдвойне становится неясно, зачем нужна аксиома счётного выбора! В общем-то, только ещё больше вопросов возникает...

Цитата:

Это сопоставление не обязательно будет отображением.

Эммм...не совсем понял... Это почему?

[Someone]

lekma_axioma в сообщении #557012 писал(а):

Ой, ну да, чертовски логично... Ну и отлично, ещё лучше! Тогда вдвойне становится неясно, зачем нужна аксиома счётного выбора!

Я не понял, какое отношение счётная аксиома выбора имеет к счётным множествам? По-моему, весьма отдалённое.

lekma_axioma в сообщении #556701 писал(а):

Или вот, теперь про несчётную AC, на примере множества $[0, 1]\subset\mathbb{R}$: определим $T$ как множество всех функций вида $f\colon L\to[0, 1]$, где $L$ - мн-во подмножеств $[0, 1]$. Мы ведь имеем такое право? Но среди этих функций обязательно найдётся такая ф-я $g$, что каждому подмножеству $[0, 1]$ будет ставить в соответствие некоторый его элемент.

Откуда следует, что такое отображение найдётся? Приведите доказательство.

lekma_axioma в сообщении #556701 писал(а):

Иначе, мы добавим её к $T$ и получим противоречие. Т.о. $g$ - функция выбора на подмножествах мн-ва $[0, 1]$

Откуда Вы эту функцию возьмёте, если её не будет?

Вообще, аксиому выбора можно сформулировать так: если имеется множество $\mathscr M$, элементами которого являются непустые множества, то существует такое отображение $\varphi\colon\mathscr M\to\bigcup\mathscr M$, что $\varphi x\in x$ для всякого $x\in\mathscr M$. В случае счётной аксиомы выбора множество $\mathscr M$ должно быть счётным; элементы множества $\mathscr M$ не обязаны быть счётными.

lekma_axioma в сообщении #557012 писал(а):

Эммм...не совсем понял... Это почему?

lekma_axioma в сообщении #556701 писал(а):

Ну, допустим, существует некоторое счётное множество $S$. Почему мы не имеем права на каждом шаге упорядочивания брать любой элемент множетва? К примеру, построим рекурсивную биекцию $f\colon\mathbb{N}\to S$
$f(0) = $любой элемент множества $S$
$f(n) = $любой элемент множества $S\setminus f([0, n-1])$

Не вижу здесь построения какой-либо биекции. Потому что сразу же возникают два вопроса. Первый: если Вы выбираете случайные элементы, то как Вы гарантируете, что будут выбраны все элементы? Второй: с чего Вы взяли, что совокупность случайно выбранных элементов $\{f(0),f(1),f(2),\ldots\}$ вообще является множеством? Из какой аксиомы или теоремы это следует?

Посмотрите также http://dxdy.ru/post554930.html#p554930 и вообще ту тему.

[apriv]

lekma_axioma в сообщении #557012 писал(а):

Эммм...не совсем понял... Это почему?

А почему будет? Отображение — это график, то есть, подмножество какого-то декартова произведения с какими-то свойствами. С чего Вы взяли, что такое подмножество, с нужными Вам свойствами, существует? У него может быть только одна причина существовать — если его существование как-то следует из аксиом ZFC. Ну и вот без аксиомы выбора, из одних только аксиом ZF, существование такого подмножества не следует вообще никак.

[lekma_axioma]

apriv в сообщении #557122 писал(а):

lekma_axioma в сообщении #557012 писал(а):

Эммм...не совсем понял... Это почему?

А почему будет? Отображение — это график, то есть, подмножество какого-то декартова произведения с какими-то свойствами. С чего Вы взяли, что такое подмножество, с нужными Вам свойствами, существует?

Так значит, мы не имеем права говорить о существовании множества $T$ всех отображений $f\colon P([0,1])\to[0,1]$ ? В противном случае я вообще ничего не понимаю. Ведь, когда мы говорим о некоторой функции выбора, то мы говорим в первую очередь именно о функции $P([0,1])\to[0,1]$, а уже потом о её свойствах, а это значит, что, опять же, поскольку она является именно "функцией $P([0,1])\to[0,1]$", то она принадлежит нашему "множеству $T$ всех мыслимых функций $P([0,1])\to[0,1]$", какими бы ни были её свойства. Ну а поскольку $T$ существует, то и функция такая есть. Где тут логическая брешь??? Хоть убейте - не вижу!:(

Видимо, я попросту не понимаю, что значит "существует"...

-- 06.04.2012, 21:54 --

Someone в сообщении #557039 писал(а):

Я не понял, какое отношение счётная аксиома выбора имеет к счётным множествам? По-моему, весьма отдалённое.

Да, с этим ясно.

Цитата:

Первый: если Вы выбираете случайные элементы, то как Вы гарантируете, что будут выбраны все элементы? Второй: с чего Вы взяли, что совокупность случайно выбранных элементов $\{f(0),f(1),f(2),\ldots\}$ вообще является множеством? Из какой аксиомы или теоремы это следует?

То ли мозг не дорос, то ли...не понимаю, в общем, совсем не понимаю. Что значит "гарантировать". Что для этого нужно?

Цитата:

Посмотрите также http://dxdy.ru/post554930.html#p554930 и вообще ту тему.

Спасибо, изучаю...

[Someone]

lekma_axioma в сообщении #557175 писал(а):

Так значит, мы не имеем права говорить о существовании множества $T$ всех отображений $f\colon P([0,1])\to[0,1]$ ?

Имеем право. Из аксиом ZF следует, что такое множество существует.

lekma_axioma в сообщении #557175 писал(а):

Ну а поскольку $T$ существует, то и функция такая есть. Где тут логическая брешь??? Хоть убейте - не вижу!:(

Из Ваших рассуждений даже не следует, что множество $T$ не пусто (хотя доказать, что оно не пусто, очень легко - достаточно указать конкретный пример такой функции. Но Вам ведь требуется существование не какой-нибудь функции, а функции, удовлетворяющей некоторому условию. Совершенно ясно, что можно придумать и такое условие, при котором требуемой функции не будет. Откуда Вам известно, что функция выбора существует? Я скажу даже больше: в определённом Вами семействе $T$ функции выбора нет, так как Вы не исключили из $P([0,1])$ пустое подмножество. Но даже если определить $T$ как множество всех отображений множества $P([0,1])\setminus\{\varnothing\}$ в множество $[0,1]$, то откуда следует, что среди этих отображений имеется функция выбора?

lekma_axioma в сообщении #557175 писал(а):

То ли мозг не дорос, то ли...не понимаю, в общем, совсем не понимаю. Что значит "гарантировать". Что для этого нужно?

Доказать подразумеваемые Вами утверждения.

[lekma_axioma]

Цитата:

Из Ваших рассуждений даже не следует, что множество $T$ не пусто (хотя доказать, что оно не пусто, очень легко - достаточно указать конкретный пример такой функции. Но Вам ведь требуется существование не какой-нибудь функции, а функции, удовлетворяющей некоторому условию. Совершенно ясно, что можно придумать и такое условие, при котором требуемой функции не будет. Откуда Вам известно, что функция выбора существует? Я скажу даже больше: в определённом Вами семействе $T$ функции выбора нет, так как Вы не исключили из $P([0,1])$ пустое подмножество. Но даже если определить $T$ как множество всех отображений множества $P([0,1])\setminus\{\varnothing\}$ в множество $[0,1]$, то откуда следует, что среди этих отображений имеется функция выбора?

Да, про пустое множество Вы правы. Но давайте будем считать, что мы его вычли.

Кажется, я начинаю понимать, в чём дело! Я просто забыл отрубить интуицию, которая неустанно мне твердит, что в нашем множестве всех функций мыслимых функций $T$ ну просто 100% есть функция с нужными нам свойствами. А по факту её не получается ни показать примером, ни вывести из аксиом. Надо было мне ZF вначале читать, а потом наивную теорию, видимо. Вам может это показаться смешным, но от меня это и вправду потребовало немалых усилий. Интуитивно ведь понятие "все фукнции" подразумевает существование любой функции с любыми свойствами. А аксиома выбора, получается, эту интуитивную точку зрения поощряет, в контексте функции выбора, естественно.
Ну хорошо, тогда, если мы из ZF не можем её вывести, то давайте ещё раз остановимся на примере с любым элементом. Ещё раз, пусть $f\colon P([0,1])\to[0,1]$, $f(X) = $ любой элемент $X$. Не могли бы вы привести контраргументы и в этом случае?

Цитата:

lekma_axioma в сообщении #557175 писал(а):

Так значит, мы не имеем права говорить о существовании множества $T$ всех отображений $f\colon P([0,1])\to[0,1]$ ?

Имеем право. Из аксиом ZF следует, что такое множество существует.

Оффтоп: а не моглы бы Вы их привести (аксиомы, из которых вытекает его существование)? Теперь мне хочется понять, почему, к примеру, мы знаем, что мощность нашего множества $T$ - гиперконтинуум, при том, что по факту практически ничего не знаем о его содержимом? То, что раньше было очевидным, начинает разваливаться на глазах.

[Someone]

lekma_axioma в сообщении #557360 писал(а):

Кажется, я начинаю понимать, в чём дело! Я просто забыл отрубить интуицию, которая неустанно мне твердит, что в нашем множестве всех функций мыслимых функций $T$ ну просто 100% есть функция с нужными нам свойствами.

У меня такой "интуиции" нет. Просто я знаю, что существование функции с каким-то свойством зависит от того, какое именно это свойство. Почему свойство "быть функцией выбора" кажется Вам таким уж легко выполнимым, мне непонятно.

lekma_axioma в сообщении #557360 писал(а):

Ещё раз, пусть $f\colon P([0,1])\to[0,1]$, $f(X) = $ любой элемент $X$. Не могли бы вы привести контраргументы и в этом случае?

Что значит - "любой элемент"? Если Вы думаете, что Ваше "определение" что-нибудь определяет, то Вы ошибаетесь. Когда мы говорим, что задано отображение $f\colon X\to Y$, то $fx$ - это вовсе не "любой" элемент, это некоторый вполне определённый элемент для каждого $x\in X$. Если Вы хотите определить отображение, Вы должны для каждого $x\in X$ указать совершенно конкретный элемент $fx\in Y$. Когда укажете, тогда можно будет говорить об отображении.

lekma_axioma в сообщении #557360 писал(а):

Оффтоп: а не моглы бы Вы их привести (аксиомы, из которых вытекает его существование)?

О, боже! Взяли бы список аксиом ZFC и посмотрели. Например, в книге К.Куратовского и А.Мостовского "Теория множеств".

Пустое множество $\varnothing$ существует по аксиоме существования пустого множества.
Неупорядоченная пара $\{a,b\}$ существует по аксиоме пары.
Объединение множеств $A\cup B$ существует по аксиоме суммы.
Множество подмножеств $P(A)$ существует по аксиоме степени.
Множество $A\setminus B$ (и, в частности, $P(A)\setminus\{\varnothing\}$) существует по аксиоме выделения.
Если $a\in A$ и $b\in B$, то неупорядоченная пара $\{a,b\}$ является элементом множества $P(A\cup B)$.
Существование упорядоченной пары $(a,b)$, если её определить как $\{a,\{a,b\}\}$, следует из существования неупорядоченной пары.
Упорядоченная пара $(a,b)$, где $a\in A$ и $b\in B$, является элементом множества $P(A\cup P(A\cup B))$, поэтому произведение $A\times B$, определяемое как множество упорядоченных пар $(a,b)$, где $a\in A$ и $b\in B$, существует по аксиоме выделения.
Отображение $f\colon A\to B$, с точки зрения теории множеств, есть подмножество произведения $A\times B$, удовлетворяющее некоторому условию, поэтому множество $B^A$ отображений $f\colon A\to B$ существует по аксиоме выделения.

lekma_axioma в сообщении #557360 писал(а):

Теперь мне хочется понять, почему, к примеру, мы знаем, что мощность нашего множества $T$ - гиперконтинуум, при том, что по факту практически ничего не знаем о его содержимом?

Мощность множества отображений $f\colon P([0,1])\setminus\{\varnothing\}\to[0,1]$ равна $2^{2^{\mathfrac c}}$, где $\mathfrac c$ - континуум, то есть, мощность отрезка $[0,1]$. То есть, это не гиперконтинуум, а "гипергиперконтинуум".

[lekma_axioma]

Извиняюсь, что отвлёкся от разговора. В такую прекрасную погоду больше хочется играть джаз, чем думать о математике:)

Цитата:

У меня такой "интуиции" нет. Просто я знаю, что существование функции с каким-то свойством зависит от того, какое именно это свойство. Почему свойство "быть функцией выбора" кажется Вам таким уж легко выполнимым, мне непонятно.

Попытаюсь объяснить...хотя это ощущение скорее иррациональное. В общем, если мыслить аналогиями с всеми функциями вида $[0,1]\to[0,1]$ (да, спасибо за поправку, вот теперь "просто" гиперконтинуум), то интуиция подталкивает к тому, что множество таких функций - суть множество неких трансфинитных последовательностей (ещё раз, мы говорим об интуиции) И тут начинает включаться аналогия с последовательностями "обычными". В таком ракурсе можно говорить так: "функция такая-то и такая-то есть, так как это просто очередная последовательность". Но почему-то я стороной обходил тот факт, что в первую очередь ещё нужно доказать то, что, собственно, эта "функция" является одной из таких последовательностей в принципе, а интуиция никак не хотела подкинуть соответствующий примерчик из множества $[0,1]\to[0,1]$. Например, вопрос о существовании разрывной функции вида $f(x+y) = f(x) + f(y)$, существование которой, собственно, из аксиомы выбора и вытекает. Видимо, надо было просто сконцентрировать внимание на этом вопросе.

Цитата:

Что значит - "любой элемент"? Если Вы думаете, что Ваше "определение" что-нибудь определяет, то Вы ошибаетесь. Когда мы говорим, что задано отображение $f\colon X\to Y$, то $fx$ - это вовсе не "любой" элемент, это некоторый вполне определённый элемент для каждого $x\in X$. Если Вы хотите определить отображение, Вы должны для каждого $x\in X$ указать совершенно конкретный элемент $fx\in Y$. Когда укажете, тогда можно будет говорить об отображении.

Огромное Вам спасибо!

Цитата:

О, боже! Взяли бы список аксиом ZFC и посмотрели. Например, в книге К.Куратовского и А.Мостовского "Теория множеств".

Пустое множество $\varnothing$ существует по аксиоме существования пустого множества.
Неупорядоченная пара $\{a,b\}$ существует по аксиоме пары.
Объединение множеств $A\cup B$ существует по аксиоме суммы.
Множество подмножеств $P(A)$ существует по аксиоме степени.
Множество $A\setminus B$ (и, в частности, $P(A)\setminus\{\varnothing\}$) существует по аксиоме выделения.
Если $a\in A$ и $b\in B$, то неупорядоченная пара $\{a,b\}$ является элементом множества $P(A\cup B)$.
Существование упорядоченной пары $(a,b)$, если её определить как $\{a,\{a,b\}\}$, следует из существования неупорядоченной пары.
Упорядоченная пара $(a,b)$, где $a\in A$ и $b\in B$, является элементом множества $P(A\cup P(A\cup B))$, поэтому произведение $A\times B$, определяемое как множество упорядоченных пар $(a,b)$, где $a\in A$ и $b\in B$, существует по аксиоме выделения.
Отображение $f\colon A\to B$, с точки зрения теории множеств, есть подмножество произведения $A\times B$, удовлетворяющее некоторому условию, поэтому множество $B^A$ отображений $f\colon A\to B$ существует по аксиоме выделения.

Да, всё ясно, как божий день, спасибо, ещё раз!

Теперь я и понял суть леммы Цорна и всю её неочевидность. Всё, что нужно для перехода от неё к аксиоме выбора - показать непустое множество, состоящее из систем подмножеств, на которых мы можем определить функцию выбора (достаточно одноэлементных множеств), затем показать то, что любая цепь таких функций также ограничена и, вуаааля, волшебным образом мы получим существование максимального элемента! Теперь только остаётся доказать, что, в частности, он совпадает со всем множеством $P([0, 1])\to[0, 1]$ и "теорема" выбора доказана! Чудеса аксиоматики!

Озарение пришло, вы мне очень помогли.

[lekma_axioma]

Цитата:

...множеством $P([0, 1])\to[0, 1]$ и "теорема" выбора доказана!

Множество P([0, 1]) имелось в виду, конечно же

[lekma_axioma]

lekma_axioma в сообщении #561047 писал(а):

Цитата:

...множеством $P([0, 1])\to[0, 1]$ и "теорема" выбора доказана!

Множество P([0, 1]) имелось в виду, конечно же

Минус пустое множество, само собой

[Oleg Zubelevich]

я так понимаю, что аксиома выбора состоит в том, что прямое произведение $\prod_{\alpha\in A} F_\alpha$
is nonvoid independently on which sets $A,\{F_\alpha\}$ are taken. That is just a pure existence theorem