Значения параметра при которых сходится интеграл

[Dosaev]

Найти все значения параметра $\alpha$, при которых сходится интеграл
$\int_2^{+\infty}{\frac{e^{\alpha x}dx}{(x-1)^{\alpha} \ln x}}$
В числителе экспонента не проявляется!
Была идея, воспользоваться неравенством функций:
$e^{\alpha x} \ge \frac{e^{\alpha x}}{(x-1)^{\alpha} \ln x}$. Но если бы был луч$ [e; \infty)$ то все было бы замечательно. Натолкните на мысль пожалуйста!

[Human]

Dosaev в сообщении #557234 писал(а):

В числителе экспонента не проявляется!

Так правильно, экспонента - это обычная буква "e", а не команда "\e".

[Dan B-Yallay]

A $\ln $ - это команда \ln а не простые буквы ln

[Dosaev]

Dan B-Yallay в сообщении #557237 писал(а):

A $\ln $ - это команда \ln а не простые буквы ln

Спасибо за замечания!
Но как все-таки с примерчиком? Как можно оценить эту функцию "сходящимся интегралом"?

[Human]

Сходящимся можно только при $\alpha<0$.

[Dosaev]

Почему

[Human]

Ну, например, потому что экспонента в знаменатель упадёт, а так она в числителе всю погоду портит. Есть ещё вариант, когда $\alpha=0$, но он вполне прост.

-- 06.04.2012, 23:18 --

А логарифмы Вы так и не поправили

-- 06.04.2012, 23:29 --

Отделите пробелом "x" от "\ln".

[Dosaev]

Human в сообщении #557243 писал(а):

А логарифмы Вы так и не поправили

-- 06.04.2012, 23:29 --

Отделите пробелом "x" и "\ln".

Он пропадает из-за этого

-- Пт апр 06, 2012 23:32:17 --

Human в сообщении #557243 писал(а):

Ну, например, потому что экспонента в знаменатель упадёт, а так она в числителе всю погоду портит. Есть ещё вариант, когда $\alpha=0$, но он вполне прост.

Причем тут вид или погода? нам нужно подобрать подыинтегральную функцию, которая больше данной, и при этом интеграл от нее сходится.

[Human]

<приложил ладонь руки к лицу>
Вместо "\lnx" напишите "\ln x".

[Dan B-Yallay]

$$\int_2^{+\infty}{\frac{e^{\alpha x}dx}{(x-1)^{\alpha} \ln x}}$$

[Human]

Dosaev в сообщении #557249 писал(а):

Причем тут вид или погода? нам нужно подобрать подыинтегральную функцию, которая больше данной, и при этом интеграл от нее сходится.

Так в том-то и дело. Когда экспонента в знаменателе, это сделать очень просто.

[Dosaev]

Human в сообщении #557249 писал(а):

<приложил ладонь руки к лицу>
Вместо "\lnx" напишите "\ln x".

Еее, получилось!

[Human]

Dosaev в сообщении #557254 писал(а):

Еее, получилось!

Рад за вас.

[Dosaev]

Полдела сделано! Осталось решить пример!
Итак, вы говорите, что нужно переместить экспоненту в знаменатель:
$\frac{1}{e^{-\alpha x}(x-1)^{\alpha}\ln x}$.

[Dan B-Yallay]

$$\frac{1}{e^{-\alpha x}(x-1)^{\alpha}\ln x} \le \frac{1}{e^{-\alpha x}x^{\alpha}}.$$

Одну фигурную скобку забыли. Если уж перенесли экспоненту вниз, то и минус убирайте.