Система диф. уравнений

[vlad_light]

(Оффтоп)

С данным материалом не сталкивался, поэтому всё написанное является гипотизой.

$x=(x_1(t),x_2(t),...,x_n(t))^T, \dot{x}=(\dot{x_1}(t),\dot{x_2}(t),...,\dot{x_n}(t))^T$
$A\in\mathbb R^{n\times n},c\in\mathbb R^n, x_i\in C[a,b]$
Дано уравнение:
$\dot {x}=Ax$
Решаем:
$\frac{dx(t)}{dt}=Ax;x^{-1}(t)dx=Adt;\int x^{-1}(t)dx=\int Adt;\ln x(t)=A(t+c);$
$x(t)=e^{At}c$
Подставляем $x(t)$ в начальное уравнение - всё сходится.
Второй способ(замена $x:=e^{\lambda t}$):
$\dot{x}-Ax=0; \lambda -A=0; \lambda =A; x(t)=e^{At}c$
$\ddot{x}-Ax=0; \lambda ^2-A=0; \lambda =\pm\sqrt A;x(t)=e^{\sqrt At}c_1+e^{-\sqrt At}c_2$
Вопрос: можно ли из этого извлечь какую-то пользу или это просто повезло с ответом?

[alcoholist]

Пойдем с самого начала

что такое $x^{-1}(t)$?

[vlad_light]

Цитата:

что такое $x^{-1}(t)$

это элемент, который я хочу как-то определить. Не факт, что он даже принадлежит $\mathbb R^n$.
Разные лямбда у меня для разных уравнений. Корень из $A$ для уравнения с двумя точками, а просто $A$ - с одной. Насколько я понял, то второй способ является корректным (с точки зрения математики).
А вот в первом способе я хочу как-то определить новые операции с векторами для решения уравнений типа $\dot{x}=Af(x)$. Для примера я привёл серию бессмысленных преобразований для $f(x)=x$. Вопрос заключается в следующем: можно ли как-то модифицировать мои формулы, чтоб они стали более-менее корректными с точки зрения математических операций?

[alcoholist]

Давайте по порядку

vlad_light в сообщении #557206 писал(а):

это элемент, который я хочу как-то определить

так определите!

[Dan B-Yallay]

alcoholist в сообщении #557211 писал(а):

Давайте по порядку

vlad_light в сообщении #557206 писал(а):

это элемент, который я хочу как-то определить

так определите!

Это некий обратный элемент к $x(t)$. Причем обратный не слева и не справа, а там где нам надо. Что очень удобно.

[vlad_light]

Цитата:

так определите!

Так вот пока не придумал, как его определить красиво
Пускай мы назовём этот элемент обратным к $x(t)$ сбоку
Я хочу, чтоб вы помогли мне с определением этого элемента и структуры, на которой он задан. Понимаю, что звучит бессмысленно, но может можно как-то поиграть и всё-таки определить что-то пристойное? Моя цель сделать какой-то вывод из этого, а не доказать, что такой элемент существует или опровергнуть это.

(Оффтоп)

Чувствую, скоро админ закроет тему

[Dan B-Yallay]

vlad_light в сообщении #557223 писал(а):

может можно как-то поиграть и всё-таки определить что-то пристойное?

Ну так попробуйте.

[vlad_light]

Уже целую неделю пробовал. Пока ничего пристойного не получается
У меня есть идея по-лучше! А можно как-то удалить эту тему, пока её никто не увидел?

(Оффтоп)

Обещаю больше не создавать такие темы

[Dan B-Yallay]

vlad_light в сообщении #557229 писал(а):

У меня есть идея по-лучше! А можно как-то удалить эту тему, пока её никто не увидел?

Этого я не знаю.

[Yu_K]

vlad_light в сообщении #557206 писал(а):

Вопрос заключается в следующем: можно ли как-то модифицировать мои формулы, чтоб они стали более-менее корректными с точки зрения математических операций?

Матричная экспонента для решения линейных систем ОДУ - погуглите - там все операции являются "более-менее корректными с точки зрения математических операций".