Равномерное распределение

[Joker_vD]

Ну, не совсем. Величина $X$ может равновероятно принимать значения $0,1,\dots,n-1$, т.е. $X\sim U[0,n)$ (ну, почти. Не знаю, как такое распределение в дискретном случае обозначается). Рассмотрим последовательность величин $Y_k=kX\bmod m$. Будет ли у них в пределе распределение $U[0,m)$ или нет?

Что-то как-то и не знаю даже, как приступиться. Т.е. я хочу доказать, что если $Y_k\xrightarrow[k\to\infty]{}Y_\infty$, то $Y_\infty\sim U[0,m)$... но я не уверен, что такое $Y_\infty$ вообще существует — это раз. Два — какая сходимость-то? И может, в такой постановке вопрос вообще некорректен?

[Padawan]

Что будет, если $n=2$? По-моему, $Y_k$ ни к чему не сходятся. При разных $k$ разные распределения, причем периодически повторяющиеся. Наверняка при других $n$ то же самое будет.

Возможно, имеет смысл вместе с $k$ устремлять к бесконечности и $n$.

[PAV]

Если $n$ и $m$ фиксированы, то при каждом значении $k$ мы имеем $m$-мерный вероятностный вектор, элементы которого имеют вид $\frac{t}{n}$. Причем при каждом $k$ он меняется. В частности, при значениях, кратных $m$, распределение вырождается. Ни к чему сходиться не может.

[_hum_]

Joker_vD в сообщении #555615 писал(а):

Ну, не совсем. Величина $X$ может равновероятно принимать значения $0,1,\dots,n-1$, т.е. $X\sim U[0,n)$ (ну, почти. Не знаю, как такое распределение в дискретном случае обозначается). Рассмотрим последовательность величин $Y_k=kX\bmod m$. Будет ли у них в пределе распределение $U[0,m)$ или нет?

Может, в качестве $Y_k$ рассмотреть $Y_k = (X_1 + X_2 + \dots +X_k)\!\mod m$, где $X_i \sim X$ - независимые с.в. ;)

[Joker_vD]

Да я уже ручками выписал для нескольких комбинаций $m,n$ — действительно ничего интересного, все по кругу вертится.

[PAV]

Учитывая, что комбинаций в данной задаче конечное число, нет ничего удивительного в том, что они с какого-то шага начинают повторяться.

[Joker_vD]

PAV
Но вот вариант _hum_ действительно интересен. Надо бы его поковырять...

[Евгений Машеров]

Не будет оно сходиться. Поведение последовательностей для разных k будет зависеть от взаимной простоты k и m. И при $k \mod m=0$ будет периодически становиться вырожденным.
Это похоже на теорию мультипликативного генератора псевдослучайных чисел, изложенную, например, во втором томе Кнута.

[Joker_vD]

Евгений Машеров
В случае $Y_k=(X_1+\ldots+X_k)\bmod m$ такого не будет. Мы ведь складываем $m$ различных реализаций $X$.

Значит, со случаем $n=2$ я разобрался:

$$P(Y_k=t)=\frac{1}{2^k}(C_k^t+C_k^{t+m}+C_k^{t+2m}+\ldots)=\frac1m\sum\limits_{j=0}^{m-1}\left(\cos\frac{\pi j}{m}\right)^k \cos\frac{\pi(k-2t)j}{m},$$

что в пределе $k\to\infty$ чудесным образом дает $\frac1m$. А вот с $n>2$ что-то больно комбинаций, голова пухнет.