2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость рядов
Сообщение03.04.2012, 16:03 


05/01/11
81
Вот еще по рядам вопросы:
а) $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}}$

$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{e^{-\sqrt{n}}}{\sqrt{n}} \leq \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{\sqrt{n}}$
Потом применяю интегральный признак Коши:
$\int_{1}^{\infty}{x^{-1/2}} = 2 \lim_{x \to \infty}{x^{1/2}}$ - несобственный интеграл расходится... В ответах написано "ряд сходится по интегральному признаку". Я где-то опять определенно протупил.

б) $\sum^{\infty}_{n = 2}\frac{(-1)^n(n+3)}{n^2-3}$

Абсолютно ряд расходится, так как, по признаку сравнения:
$\sum^{\infty}_{n = 2}\frac{n+3}{n^2-3} > \sum^{\infty}_{n = 2}\frac{n}{n^2 - 3n^2} = \sum^{\infty}_{n = 2}-\frac{1}{2n}$.
Далее, по теореме Лейбница:
$|u_{n}| = \frac{n + 3}{n^2 - 3}$, $|u_{n+1}| = \frac{n + 4}{n^2 + 2n - 2}$
Так как $|u_n| > |u_{n+1}|$, то ряд сходится условно. Верно?

в) $\sum^{\infty}_{n = 1}\frac{\sqrt[3]{(n+1)^n}}{n!}x^n$

Общий член ряда, конечно, сходится (так как факториал растет быстрее степени) - это необходимый признак сходимости. Чтобы проверить сходимость ряда применим признак Даламбера:
$|\frac{u_{n+1}}{u_n}| = \frac{x^{n+1}n!\sqrt[3]{(n+2)^{n+1}}}{x^n(n+1)!\sqrt[3]{(n+1)^n}} = x\frac{\sqrt[3]{(n+2)^{n+1}}}{(n+1)\sqrt[3]{(n+1)^n}}$
Что со всем этим делать дальше? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение03.04.2012, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
a) Вы бы ещё с единицей сравнили (каждый член ряда меньше 1, так, чему там был равен интеграл от 1...)
Примените интегральный признак к исходному ряду.
б) Да.
в) Это скучно как-то; вот если бы вместо корня стояло само подкоренное выражение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение03.04.2012, 16:51 


05/01/11
81
Эм... Тогда так:
$\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx = 2\int_{1}^{\infty}e^{-\sqrt{x}}d\sqrt{x} = -\frac{2}{e^{\sqrt{x}}} \to 0$. Ряд сходится. Получается так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение03.04.2012, 16:53 
Аватара пользователя


20/03/12
139
В пункте а) про "инфернальный призрак Коши" я бы в последнюю очередь вспомнил - там же экспонента с обратным знаком, пусть и от корня, так что этот ряд сходится без вопросов. Более формально, поскольку $e^{\sqrt n}\geqslant1+\sqrt n+\frac12n$, то
$$\frac{e^{-\sqrt n}}{\sqrt n}\leqslant\frac1{\sqrt n+n+\frac12n\sqrt n}\sim\frac2{n^{\frac32}}\ \text{при}\ n\to\infty$$
Но интегральный признак да, тоже работает.

-- 03.04.2012, 16:58 --

Lazy в сообщении #555453 писал(а):
$\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx = 2\int_{1}^{\infty}e^{-\sqrt{x}}d\sqrt{x} = -\frac{2}{e^{\sqrt{x}}} \to 0$


Только конечный ответ без минуса, проверьте. И вместо $x$ единица.

-- 03.04.2012, 17:07 --

И кстати, что-то сразу не заметил: причём здесь сходимость к нулю? Вы просто берёте несобственный определённый интеграл, и если он конечное число, то все норм.

-- 03.04.2012, 17:22 --

Human в сообщении #555455 писал(а):
Общий член ряда, конечно, сходится (так как факториал растет быстрее степени)


Ну, я бы не сказал, что факториал растёт быстрее степени. Например, $n^n$ растёт быстрее. Это только в данном случае факториал "побеждает", из-за кубического корня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение03.04.2012, 18:19 
Аватара пользователя


20/03/12
139
Lazy в сообщении #555423 писал(а):
$|\frac{u_{n+1}}{u_n}| = \frac{x^{n+1}n!\sqrt[3]{(n+2)^{n+1}}}{x^n(n+1)!\sqrt[3]{(n+1)^n}} = x\frac{\sqrt[3]{(n+2)^{n+1}}}{(n+1)\sqrt[3]{(n+1)^n}}$
Что со всем этим делать дальше? :shock:


Это всё стремится к нулю, проверьте. А раз оно стремится к нулю, то, по определению предела, найдется номер, начиная с которого...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение03.04.2012, 18:35 


05/01/11
81
Human в сообщении #555455 писал(а):
Только конечный ответ без минуса, проверьте. И вместо $x$ единица.

Без минуса, верно, виноват... А почему (и где) там вместо $x$ единица? :shock:
Еще: можно про этот интересный способ узнать поподробнее?
$e^{\sqrt n}\geqslant1+\sqrt n+\frac12n$
Почему именно с таким выражением сравниванием? И почему $\frac1{\sqrt n+n+\frac12n\sqrt n}\sim\frac2{n^{\frac32}}$

В том весь и вопрос - я не понимаю почему это все стремится к нулю в степенном ряду :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение03.04.2012, 18:53 
Аватара пользователя


20/03/12
139
Lazy в сообщении #555533 писал(а):
Без минуса, верно, виноват... А почему (и где) там вместо $x$ единица? :shock:


Тогда уж так:
$$\int_{1}^{\infty}\frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx =\left-\frac2{e^{\sqrt x}}\right|^{\infty}_1=\frac2e$$
Lazy в сообщении #555533 писал(а):
Еще: можно про этот интересный способ узнать поподробнее?
$e^{\sqrt n}\geqslant1+\sqrt n+\frac12n$
Почему именно с таким выражением сравниванием?

Чтобы формально удовлетворить тому условию, что степень $n$ для сходимости ряда с общим членом $\frac1{n^\alpha}$ должна быть больше 1. А неравенство я взял просто из разложения экспоненты в ряд Маклорена. Это разложение справедливо при всех действительных числах, а при положительном аргументе остаток ряда неотрицателен, и при его отбрасывании получается данное неравенство.
Lazy в сообщении #555533 писал(а):
И почему $\frac1{\sqrt n+n+\frac12n\sqrt n}\sim\frac2{n^{\frac32}}$


Ну поделите одно на другое и найдите предел.
Lazy в сообщении #555533 писал(а):
В том весь и вопрос - я не понимаю почему это все стремится к нулю в степенном ряду :oops:


$$x\frac{\sqrt[3]{(n+2)^{n+1}}}{(n+1)\sqrt[3]{(n+1)^n}}=\frac{x\sqrt[3]{n+2}}{n+1}\left(1+\frac1{n+1}\right)^{\frac n3}$$
Так понятнее?

-- 03.04.2012, 19:15 --

В принципе можно было и таким неравенством воспользоваться:
$$e^{\sqrt n}>\frac12n$$
то есть отбросить и первые два слагаемые, ибо они тоже положительны. Тогда все ещё проще, достаточно воспользоваться только признаком сравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость рядов
Сообщение04.04.2012, 02:02 


05/01/11
81
Вроде разобрался. Спасибо всем огромное :!:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group