Просты дифференциальные уравнения

[Lazy]

Уважаемые математики, у меня есть "домашняя работа" по дифференциальным уравнениям. Все задачи решил, а первый номер из двух, вроде бы, простейших уравнений мне не поддается...

а) $xy' = y\ln{\frac{y}{x}}$

Мое решение: $y' = \frac{y}{x}\ln{\frac{y}{x}}$. Это однородное уравнение. Делаем, как водится, замену $\frac{y}{x} = z$, подставляем:

$z + z'x = z\ln{z}$, $x\frac{dz}{dx}=z\ln{z} - z$, $\frac{dz}{z\ln{z} - z} = \frac{dx}{x}$

Далее получается что-то кошмарное... после интегрирования имеем: $-\frac{1}{2}\frac{1}{(\ln{z}-1)^2} = -2\ln{|Cx|}$
Что делать дальше - ума не приложу

б) $y''\tg{y} = 2{y'}^2$

$y'' = 2{y'}^2\ctg{y}$ Правая часть не содержит $x$, делаем обычные замены $y' = p$ и $y'' = p\frac{dp}{dy}$. Подставляем в уравнение: $p\frac{dp}{dy} = 2p^2\ctg{y}$, $\frac{dp}{p} = 2\ctg{y}dy$.

Что дальше, опять же, понятия не имею...

[Someone]

Lazy в сообщении #554500 писал(а):

после интегрирования имеем: $-\frac{1}{2}\frac{1}{(\ln{z}-1)^2} = -2\ln{|Cx|}$

Неправильно.

-- Вс апр 01, 2012 16:10:16 --

Lazy в сообщении #554500 писал(а):

Что дальше, опять же, понятия не имею...

Раз переменные разделились - интегрировать.

[Lazy]

Б... Я такой тупой... Ну конечно, все здесь очень просто решается! Вот что значит хоть немного поспать

$\int{\frac{dz}{z\ln{z} - z}} = \int{\frac{d\ln{z}}{\ln{z}-1}} = \ln{(\ln{z} - 1)} + C$

А интеграл котангенса: $\int{\ctg{x}dx} = \ln{\sin{x} + C}$

Огромное Вам спасибо!

[Lazy]

Выяснилось, что я еще не "постиг Дао"...
В уравнении б) я нахожу $p$:

$p = C_{1}\sin^{2}{y}$. Дальше, по идее, надо взять интеграл от $p$ просто, чтобы $y$ получить? У меня выходит:

$y = C_{1}\int{\sin^{2}{y}} = C_{1}(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin{2x}+C_{2})$.

В ответах написано просто: $\ctg{y} = C_{1}x+C_{2}$. В любом случае $y$ тут, значит, арктангенсом будет?

[ewert]

Lazy в сообщении #555343 писал(а):

$p = C_{1}\sin^{2}{y}$.

Знак был потерян.

[Lazy]

В смысле? Константа же любая может быть...

[ewert]

Lazy в сообщении #555358 писал(а):

Константа же любая может быть...

Не здесь потерян, а на предыдущем шаге.

[Lazy]

б) $y''\tg{y} = 2{y'}^2$

$y'' = 2{y'}^2\ctg{y}$
Правая часть не содержит $x$, делаем обычные замены $y' = p$ и $y'' = p\frac{dp}{dy}$.
Подставляем в уравнение: $p\frac{dp}{dy} = 2p^2\ctg{y}$, $\frac{dp}{p} = 2\ctg{y}dy$,
$\ln{|p|} + C = 2\ln{|\sin{y}|}$,
$Cp = \sin^{2}{y}$,
$p = C_{1}\sin^{2}{y}$

Не понимаю. Где потерял?

[ewert]

Это я зазевался (по диагонали смотрел). Неправильно дальше:

Lazy в сообщении #555343 писал(а):

$y = C_{1}\int{\sin^{2}{y}} = C_{1}(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin{2x}+C_{2})$.

В этой строчке много интересного, но самое интересное -- интеграл: таких записей интеграла в принципе не бывает.

[Lazy]

Хм... ну $dy$, допустим, я потерял, конечно. И $y$ по привычке на $x$ заменил...
$y' = p$
$y = C_{1}\int{\sin^{2}{y}dy} = \frac{1}{2}C_{1}\int{1 - \cos{2y}dy} = C_{1}(\frac{y}{2}-\frac{1}{4}\sin{2y}+C_{2})$.

Что-таки неверно в принципе?

-- Вт апр 03, 2012 14:43:45 --

Ой... вот же ж мазафака...
$\frac{dy}{dx} = C_1\sin^2{y}$,
$\frac{dy}{\sin^2{y}} = C_1dx$,
$\ctg{y} = C_1x + C_2$...

Спасибо! Помогло...