Вот какой пример получился (с решениями, тем не менее, принадлежащими

).
Рассмотрим семейство кривых

, где

- параметр. Это семейство заполняет всю верхнюю полуплоскость, не переходя в нижнюю и не задевая прямую

, причём никакие две кривые не пересекаются.
Действительно, функция

строго положительна и ограничена при

и любом

, поэтому

, в то же время при любом фиксированном

:

,

; кроме этого,

. Из неравенства

следует, что

, тогда как

, значит

, откуда следует непересекаемость кривых, соответствующих разным

.
Это семейство кривых задаёт в верхней полуплоскости векторное поле
(Оффтоп)
вот откуда произошло название сайта

и соответствующую ему функцию

, такую, что решением уравнения

будут как раз указанные выше кривые (очевидно, определённые и непрерывно дифференцируемые по

при всех

). При этом видно, что

при любом

, а значит и при любом

. Положив

при

и дополнив это поле соответствующими направлениями, получим требуемый пример, ибо

- функция

не является непрерывной в точке

.