найти распределение отношения двух норм. распр. с.в.

[Studentus]

Условие задачи: Случайные величины $\xi_1, \xi_2$ --- независимые, имеющие стандартное нормальное распределение. Найти распределение случайной величины $\xi_1/\xi_2$.

Я дорешал до следующего момента:
Рассмотрим величину $\eta=1/\xi_2$.


Воспользуемся формулой:

$$p_\eta(y)=|(g^{-1}(x))'|p_\xi(g^{-1}(x)),$$

где $g^{-1}(y)$- функция, обратная к $g$.
Так как функция $1/x$ не монотонна, разобьем ее на два участка: $-\infty<x<0$ и $0<x<+\infty$. Плотность распределения на этих участках будет равна и ее можно найти следующим образом:
из условия следует, что $x=1/\xi_2$, $g(x)=1/x$, $g^{-1}(x)=1/x$, $p_\xi(g^{-1}(x))=p_{\xi_2}(1/x)=\frac {1}{\sqrt{2\pi} } e^\frac{-1}{2x^2}$.
Отсюда плотность распределения $\eta$ равна:

$$ p_\eta(y)=p_{1/\xi_2}(x)=\frac{1}{x^2}\frac {1}{\sqrt{2\pi} } e^\frac{-1}{2x^2}. $$

Далее необходимо найти плотность распределения от произведения величин $\xi_1$ и $1/\xi_2$. Я не знаю, как это сделать. Помогите пожалуйста, буду очень признателен. Заранее всем спасибо.

[_hum_]

Наверное, проще вам глянуть в учебнике по ТВ параграф "Функции случайных величин" ("Функциональные преобразования случайных величин") для многомерного случая.

[ewert]

Не надо плотность, надо функцию распределения:

$F(x)=P(\frac{\xi_1}{\xi_2}<x)=\frac{1}{2\pi}\ж\iint\limits_{\xi2>0,\;\xi_1<x\xi_2}e^{-\xi_1^2/2}\,e^{-\xi_2^2/2}\,d\xi_1\,d\xi_2+$

плюс точно такой же интегральчик по симметрично расположенному углу в нижней полуплоскости. Переходите в этом двойном интеграле к полярным координатам -- и будет счастье (в виде арктангенса).

(собственно, интеграл по радиусу можно будет и не считать -- он войдёт в нормировочную константу, а она и так очевидна)

[PAV]

Это распределение Коши, его свойства можно найти в учебниках