2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Делимость на примориал
Сообщение24.03.2012, 19:59 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Для каждого примориала $P$ найти все натуральные $n$ такие, что $P|n^n+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на примориал
Сообщение25.03.2012, 10:08 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
Годятся числа: $n=kP-1,k=1,2,\dots$,есть ли еще решения,не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на примориал
Сообщение26.03.2012, 13:51 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
mihiv в сообщении #551884 писал(а):
Годятся числа: $n=kP-1,k=1,2,\dots$,есть ли еще решения,не знаю.

Да, незадача вышла. Я нашла решение только для первых четырёх примориалов: 2, 6, 30 и 210. Там действительно годятся только числа вида $kP-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на примориал
Сообщение28.03.2012, 12:26 
Заблокирован


16/06/09

1547
mihiv в сообщении #551884 писал(а):
Годятся числа: $n=kP-1,k=1,2,\dots$,есть ли еще решения,не знаю.
Нету. Достаточно взять какой-нибудь маленький праймориал, например $5\#$ или $7\#$ и убедиться что из всех $n^n+1$ на него делятся только если $P\ |\ n+1$. Фишка в том, что праймориал состоит из последовательных простых чисел, включая простые Софи Жермен, поэтому $\left(\dfrac{n^n+1}{n+1},P\right)=1$
-- Ср мар 28, 2012 13:44:10 --

По-моему, тут даже можно обобщить до $a^n+b^n$ делится на $k\#$ только если $a+b\div k\#$

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на примориал
Сообщение29.03.2012, 15:57 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
temp03 в сообщении #552971 писал(а):
праймориал состоит из последовательных простых чисел, включая простые Софи Жермен, поэтому $\left(\dfrac{n^n+1}{n+1},P\right)=1$


Не могли бы Вы пояснить этот момент?

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на примориал
Сообщение29.03.2012, 22:27 
Заблокирован


16/06/09

1547
Возьмём $7\#=210$. Тогда есть несколько вариантов:
1) если $\left(\dfrac{a^n+b^n}{a+b},210\right)=7$, то $n\leq7$. Если $n=7$, то $a+b\div7$. Но тогда $a+b\div210$.
2) если $\left(\dfrac{a^n+b^n}{a+b},210\right)<7$. Пусть $n=3$, то $\dfrac{a^n+b^n}{a+b}$ может делиться на $7$ и при этом $7\not|\ a+b$. Контрпример $\dfrac{19^3+11^3}{19+11}\div7$, однако $7\not|\ 19+11$.

Так что в случае $a^n+b^n$ предположение
temp03 в сообщении #552971 писал(а):
По-моему, тут даже можно обобщить до $a^n+b^n$ делится на $k\#$ только если $a+b\div k\#$
неверное.

mihiv, там надо смотреть случай 2) для $n^n+1$. Т.е. $n<\dfrac p2$. Но праймориал растёт быстрее чем $\left(\dfrac p2\right)^{\frac{p}{\ln p}}$. В общем это очень долгая история. И труднодоказуемая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на примориал
Сообщение30.03.2012, 18:24 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
У меня получилось доказать вот что:пусть уже доказано,что $1).p_m\# |n^n+1$ только для чисел вида $n=kp_m\# -1,k=1,2,\dots $ и 2).на отрезке $[\frac {p_m+1}2,p_{m+1}]$ есть по крайней мере одно простое число $q$,такое,что $2q+1$ также простое,тогда $p_{m+1}\# |n^n+1$ только для чисел вида $n=kp_{m+1}\# -1$.

Для каждого конкретного примориала условие 2). легко проверяется(оно скорее всего выполняется для всех $p_{m+1}$),поэтому,начав с $p_2\# $,можно последовательно переходить к следующим примориалам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на примориал
Сообщение30.03.2012, 22:07 
Заблокирован


16/06/09

1547
Наверное.

(Оффтоп)

ужасно болит голова. Сначала я ответил на ваше сообщение, потом исправил. Оказалось что исправил неверно, а было верно, так правил, правил, пока не вышел час правки. В общем, я уже не помню почему я и как написал тогда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на примориал
Сообщение01.04.2012, 10:05 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
mihiv в сообщении #553861 писал(а):
получилось доказать

Не получается,нашел ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость на примориал
Сообщение02.04.2012, 12:00 
Заблокирован


16/06/09

1547
mihiv, в общем идея такая: праймориал $7\#$ содержит все простые от $2$ до $7$. Поэтому если $\dfrac{n^n+1}{n+1}$ делится на какое-то простое $7|\ 7\#$, а $n+1$ не делится, то $n\div p_i$ такое, что $7=2kp_i+1$ (это $3$).
Но тогда чтобы $n^n+1\div 7\#$ необходимо, чтобы $n+1\div p_i$, но это невозможно, т.к. $n\div p_i$. Противоречие.
Т.е. таких $n$ не существует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group