Что такое треугольник?

[Профессор Снэйп]

Что такое треугольник в школьной математике?

Мы в конце 1980-ых геометрию учили по Погорелову. Там вроде было какое-то "определение", не помню его дословно. Что-то насчёт того, что "треугольником называется фигура, составленная из трёх не лежащих на одной прямой точек плоскости и трёх соединяющих их отрезков". И где-то в середине учебника - вот такой вот маленький "шедевр"!

Цитата:

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании совпадают.

Доказательство. Равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ равен треугольнику $CBA$ по трём сторонам...

Никого ничто здесь не смущает?

[Padawan]

Вроде все нормально. Два треугольника равны, если один можно движением отобразить на другой. У равных треугольников углы при соответсвующих вершинах равны.

-- Сб мар 31, 2012 17:32:13 --

Я понял, о чем Вы. Фраза "треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$" в данном случае означает больше, чем просто равенство. Она означает, что существует движение, при котором точка $A$ переходит в $A_1$, $B$ -- в $B_1$, $C$ -- в $C_1$.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

"Поэт в России — больше, чем поэт". Равенство треугольников — больше, чем просто равенство.

[gris]

Я слегка влезу в дискуссию по близкой для меня теме. У Погорелова действительно порядок вершин треугольника имеет значение и равенство именно треугольников определяется не через движение, а как равенство всех шести соответствующих элементов.
Аксиоматически вводится существование треугольника, равного данному, в заданном положении.
На этой аксиоме основывается вывод первого и второго признака равенства. Потом идёт равнобедренный треугольник. Теорема о равенстве углов при основании следует из равенства его ему самому (с переставленными вершинами) по первому признаку. Обратная теорема доказывается с использованием второго признака.
Потом идут свойства медиан и прочего в равнобедренном треугольнике.
А уж заканчивается всё это третьим признаком по трём сторонам.

Редкий семиклассник может этот материал усвоить, да ещё в самом начале курса. Школьникам, конечно, интуитивно ближе равенство плоских фигур, как совмещаемых некоторым наложением. Но там не такая строгая аксиоматика, которую семиклассники всё равно не особенно понимают. Поэтому материал начала седьмого класса просто необходимо повторять в начале десятого, при введении в стереометрию, где целая куча аксиом и теорем по плоскостям и прямым в пространстве. Десятиклассники уже вполне могут понять, почему $\triangle ABC$ вообще говоря не равен $\triangle ACB$ как треугольник, но равен как фигура. (см. Joker_vD)

А ещё я видел первый признак как аксиому.

Но вот насчёт смущения я что-то не понял. Разве то, что третий признак "по трём сторонам" сам основан на свойстве равнобедренных треугольников? Может быть в каком-то издании допущена опечатка? Я лично помню про первый признак "по двум сторонам и углу между ними"

[BVR]

gris
Полностью согласен с Вами.
С наложениями на самом деле тоже все строго. Просто в Атанасяне (наиболее популярный сейчас учебник в РФ) учтены возрастные особенности. Аксиоматика планиметрии приводится в конце 9-го класса (в приложении). И про треугольник он говорит, что будем понимать и часть плоскости и границу.

[ewert]

gris в сообщении #554226 писал(а):

Но вот насчёт смущения я что-то не понял.

Я не знаю, что конкретно смутило Профессора. Но меня лично смутило то, что АВС, ВСА и т.д. -- это один и тот же треугольник. Т.е. текст был абсолютно невнятен.

[gris]

По Погорелову это таки разные треугольники. Я несколько раз преподавал геометрию в седьмом классе, и вот именно это доказательство было неким трюком, фокусом. Кстати, Атанасяновское доказательство через биссектрису прекрасно проходит и в Погореловском курсе, и оно школьникам понятнее. Там общая сторона — биссектриса, проведённая к основанию, пара равных сторон, два равных угла и тот же первый признак. А тут треугольник нарисован один, а их два (на самом деле даже шесть). И все формально разные. Но и это не беда. Аккуратно выписываем вершины и стороны треугольника, напротив вершины и стороны в другом порядке. Сравниваем. С чертежом уже трудности. Угол общий. А вот две пары общих сторон это на самом деле одна пара. Самое же неприятное, что этот приём больше никогда не используется.
Доказательство, конечно, красиво, но для семиклашек во второй четверти рановато. Оно для математического кружка. Или можно провести чуть более длинное, но гораздо более понятное доказательство, а потом с загадочным видом объявить: "А вот можно и так. Смотрите — опля — и углы равны!"
Впрочем, и доказательства признаков тоже сложноваты. И у Погорелова, и у Атанасяна. "Сторона такая-то идёт по стороне такой-то...". Но что же делать? Свести всё к забавным картинкам? В геометрии ценна именно логика аксиоматического построения теории.

Вообще некоторые говорят так: равнобедренный треугольник равен сам себе, а в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Но это надо уметь подать. А то въедливый экзаменатор может и поразвлекаться

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #554307 писал(а):

По Погорелову это таки разные треугольники.

А я вот в Погорелове этого не помню. Наоборот, помню, что то место в Погорелове, где даётся определение треугольника, намекает на то, что порядок перечисления вершин абсолютно не важен. То есть треугольник - это суть множество точек плоскости, равное объединению трёх отрезков с попарно общими вершинами.

Вообще, вопрос к gris. Раз Вы преподавали в школе по Погорелову, то у Вас эта книжка наверняка дома где-то есть. Не могли бы Вы процитировать то место из учебника, в котором даётся определение треугольника.

-- Вс апр 01, 2012 15:41:06 --

ewert в сообщении #554281 писал(а):

Но меня лично смутило то, что АВС, ВСА и т.д. -- это один и тот же треугольник.

Вот именно это меня тоже смутило! Особенно учитывая то, как именно я воспринимал определение треугольника (см. выше).

[gris]

Я и учился по Погорелову и готовился к вступительным по нему же. И все эти вещи разбирал досконально. Сейчас под рукой нет старых бумажных изданий, а вот в цветном издании 2009 года написано буквально следующее:

Цитата:

9. Треугольник.
Треугольником называется фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

В определении нет указания на порядок вершин, а вот в определении равенства треугольников читаем:

Цитата:

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны, и соответствующие углы равны. При это соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.

И далее:

Цитата:

Для обозначения равенства треугольников используется обычный знак равества. При этом имеет значение порядок, в котором записываются вершины треугольника.

Для школьников непонятно слово "соответствующие" и обычно его трактуют как привязку к номерам вершин в обозначении треугольника.

Цитата:

Равенство $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$ означает, что $\angle A=\angle A_1, ...$, а равенство $\triangle ABC=\triangle B_1A_1C_1$ означает уже совсем другое: $\angle A=\angle B_1, ...$

Интересно, что у Погорелова даже при определении равенства фигур через совмещение движением (в девятом классе), для равенства совмещаемых треугольников оговаривается, что в записи $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$

Цитата:

совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах. При таком условии равенство треугольников, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, означают одно и то же.

В принципе, ничего страшного нет, даже дисциплинирует, но некоторые формальности отвлекают от сути. И становятся излишними. Вопрос равенства треугольников напоминает проблемы считать ли ноль натуральным числом, а параллелограмм трапецией.
Если подойти к вопросу не с позиций робкого учителя толпы беснующихся 12-леток, а с позиций, например, умудрённого геометра, то можно и прикопаться к тому, что в определении треугольника ничего не говорится. На этом пока закончу. В общем, школьную геометрию можно с удовольствием ковырять, как старую засохшую болячку.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #554471 писал(а):

Для школьников непонятно слово "соответствующие"

Почему только для школьников?... Для меня тоже совершенно непонятно. Ведь соответствие-то не приведено и даже не намёкнуто.

Правда, стоит иметь в виду, что школьную геометрию я уже чёрт-те когда сдал и ничего себе не оставил. Во всяком случае, в том, что касается последовательности изложения. Помню только смутно, что геометрия (а она у нас была тогда в старших классах отдельным предметом, отдельным от алгебры/анализа) особого восторга насчёт своей формальной аккуратности не вызывала -- в отличие от того же анализа. Но и отторжения тоже: в конце концов, всем ведь в каждый момент было понятно, что имелось в виду, пусть и не бывало аккуратно сформулировано.

[Профессор Снэйп]

По-хорошему, надо вводить определения как-то так:

1) Треугольником называется упорядоченная тройка $\langle A, B, C \rangle$, где $A$, $B$ и $C$ - точки плоскости, не лежащие на одной прямой.

2) Изображением треугольника $\langle A, B, C \rangle$ называется множество точек плоскости, равное $[A, B] \cup [B, C] \cup [C, A]$.

Тогда всё в порядке. Треугольники $\langle A, B, C \rangle$ и $\langle A, C, B \rangle$ различны, хотя и имеют одинаковое изображение. "Равенство" треугольников (тоже надо определять, что это такое, причём долго и нудно) гарантирует "равенство" их изображений, но обратное не верно...

Эх, блин-компот!.. Это всё так замечательно и кристально ясно, но, увы, не для школьников

-- Пн апр 02, 2012 00:39:19 --

Говорят, что в каком-то раннем учебнике (предшествующем учебнику Погорелова) плоскость определялась как поверхность пруда в тихую погоду при отсутствии воды!

[Профессор Снэйп]

Хм... подумалось, что ещё лучше было бы определить треугольник как отображение $\varphi$ из $\mathbb{R}/3\mathbb{Z}$ в плоскость, такое что точки $\varphi(0), \varphi(1), \varphi(2)$ не лежат на одной прямой и образы $\varphi([0,1])$, $\varphi([1,2])$, $\varphi([2,0])$ являются естественными параметризациями отрезков...

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #554676 писал(а):

Хм... подумалось, что ещё лучше было бы определить треугольник как отображение $\varphi$ из $\mathbb{R}/3\mathbb{Z}$ в плоскость, такое что точки $\varphi(0), \varphi(1), \varphi(2)$ не лежат на одной прямой и образы $\varphi([0,1])$, $\varphi([1,2])$, $\varphi([2,0])$ являются естественными параметризациями отрезков...

Мда... Вам надо отдохнуть

[Профессор Снэйп]

Ну да, не образы отрезков, а ограничения $\varphi$ на эти отрезки. Плохо выразился

(Оффтоп)

А насчёт отдохнуть... Честно думал, что сейчас часов 11 вечера, а посмотрел на часы - без пятнадцати четыре, почти утро. Наверное, действительно надо...

[Joker_vD]

Профессор Снэйп в сообщении #554645 писал(а):

"Равенство" треугольников (тоже надо определять, что это такое, причём долго и нудно)

По-хорошему, некий объект равен лишь самому себе. Т.е. $a=b$ означает, что $a$ и $b$ обозначают одну и ту же сущность. Все остальное — через отношение эквивалентности и фактор-классы. Теперь долго и нудно надо определять не равенство, а конгруэнцию.