Уравнение теплопроводности

[sa1ntdevil]

\begin{align*} U_t &= 3U_{xx} \\ U(0,t)&= U(1,t) = 0 \\ U(x, 0) &= 1 -x \end{align*}

Я решал это уравнение методом разделения переменных:
\begin{align*} U = X(x) T(t) \\ \frac{X''}{X} = \frac{1}{3}\frac{T'}{T} = -\lambda \end{align*}

Из краевых условий получаем, что:
\begin{align*} \lambda=(\pi n)^2 \\ X_n = \sin(\pi n x) \end{align*}

Таким $\lambda$ соответствуют:
\begin{align*} T_n = C_n e^{-3\left(\pi n\right)^2 t} \\ U_n(x,t) = X_n(x) T_n(t) \end{align*}

Общее решение имеет вид:
$U(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} U_n(x,t)$

Дальше, надо раскладывать начальные данные в ряд Фурье по синусам, чтобы найти коэф-ты $C_n$.
Только функция $U(x,0)$ в данной задаче не равна $0$ при $x = 0$ и её разложение в ряд Фурье по синусам не даёт точного равенства в точке 0. Как быть в таком случае?

PS. У меня есть подозрение, что формально сама задача поставлена некорректно, т.к. $U(0,t) = 0$, но в то же время $U(x,0)= 1 - x$ и при подстановке $t=0$ в первое уравнение, $x = 0$ во второе, получается $0 = 1$, что неверно. Или я чего-то не понимаю?

[Human]

sa1ntdevil в сообщении #554418 писал(а):

У меня есть подозрение, что формально сама задача поставлена некорректно, т.к. $U(0,t) = 0$, но в то же время $U(x,0)= 1 - x$ и при подстановке $t=0$ в первое уравнение, $x = 0$ во второе, получается $0 = 1$, что неверно.

Да вроде обоснованное подозрение. Может в начальном условии имелась в виду производная?

[Oleg Zubelevich]

задача поставлена корректно, но наблюдение хорошее, есть над чем подумать Вам

[Vince Diesel]

Решение сущеcтвует и представляется в виде суммы такого ряда, просто не будет непрерывно в точке $(0,0)$.

[Oleg Zubelevich]

решение непрерывно по $t$ в нуле, разберитесь в каком именно смысле

[ewert]

sa1ntdevil в сообщении #554418 писал(а):

Только функция $U(x,0)$ в данной задаче не равна $0$ при $x = 0$ и её разложение в ряд Фурье по синусам не даёт точного равенства в точке 0.

Даёт. И при всех остальных иксах тоже даёт. Просто граничное условие поддерживается при всех ненулевых временах, и это никак не связано с тем, что там в начальный момент.

В противном случае Вам было бы запрещено прикасаться пальчиком к кусочку льда.

[sa1ntdevil]

Вроде разобрался, спасибо за ответы!

Oleg Zubelevich. На левом конце решение равно 0 при любом t, с непрерывностью по t нет никаких вопросов. Вы об этом говорили или я Вас неправильно понял?

ewert. С физической точки зрения постановка задачи понятна, просто смутило что решая дифференциальное уравнение получаем в качестве решения функцию, которая в некоторой точке не дифференцируема.
Хотя видимо раз всего в одной точке, это обосновано физически, а также известно что решение обладает бесконечной гладкостью во все моменты времени, кроме начального - значит всё хорошо.

[Oleg Zubelevich]

Проверьте, что $\|u(t,\cdot)\|_{L^2[0,1]}\le c\|u(0,\cdot)\|_{L^2[0,1]},\quad \|u(t,\cdot)-u(0,\cdot)\|_{L^2[0,1]}\to 0$ as $t\to 0+$