Регуляризация энергии вакуума.

[Lesobrod]

Сейчас пытаюсь разобраться с эффектом Казимира и регуляризацией
энергии вакуума. Вроде продвижение есть, но не могу понять простую вещь)))

(Оффтоп)

Однажды Попов читал публичную лекцию о трансатлантическом кабеле.
В конце подошла одна дама и сказала:
- Потрясающее! Вы так доступно объясняли, что я буквально всё поняла!
У меня остался только один маленький вопрос. Почему телеграммы из-за океана доходят до нас сухими?

Сумма ряда $\sum\limits_{i=1}^n i $ равна $\frac{n(n+1)}{2}$ Если оставить только старшую степень полинома
по $n$, то наилучшей аппроксимацией при $n\to \infty$ будет не $\frac{1}{2} n^2$, а $-\frac{1}{12} + \frac{1}{2} n^2$
В общем случае, если я правильно понял метод суммирования Рамануджана,

$$\sum\limits_{i=1}^n i^s =-\frac{B_{s+1}}{s+1} + C_s n^{s+1} + O(\frac{1}{n})$$

Отбрасывая члены с $n$, получаем некий "сухой остаток", выражаемый через числа Бернулли.
Но, с другой стороны, если мы отбрасываем энергию вакуумного состояния,
как неизменную при любых физических процессах, тогда какая разница, чему она равна -
$0, -\frac{1}{12} , \infty $? Зачем все эти регуляризации и дзета-функции?

Если кто-то захочет мне помочь, просьба такая. Эффект Казимира - трёхмерный. Но ясно, что
даже у одномерного квантового осциллятора энергия вакуумного состояния расходится.
Нельзя ли рассмотреть именно этот пример? Зачем нужна регуляризация, получение каких-то конкретных чисел,
если бесконечность можно просто отбросить?

[obar]

Строгое обоснование суммы (типа той, что вы привели и им подобных) можно получить с помощью формулы суммирования Абеля-Плана.

Lesobrod в сообщении #554086 писал(а):

если мы отбрасываем энергию вакуумного состояния...

В эффекте Казимира интересуются изменением ТЭИ вакуумного состояния, вследствие изменения граничных условий (или топологии пространства). При этом, следуя Дираку, вакуум Минковского принимается за "нулевую точку отсчета" -- сам этот вакуум не наблюдаем, наблюдаются лишь отклонения от него. Отсюда становится понятен прием "отбрасывания" бесконечности: на самом деле отнимается вакуумный ТЭИ в пространстве Минковского. Если вы рассматриваете эффект Казимира, обусловленный топологией (пространство без границ), то такое отнимание ТЭИ Минковского устранит все расходимости. Если же вы рассматриваете пространства с границами (например, поле в параллелепипеде), то таким приемом вы устраните лишь главный расходящийся ("объемный") член. Останутся еще расходимости, связанные с гранями и ребрами. Аргументированной процедуры их отбрасывания нет.

Я бы вам рекомендовал почитать книгу Мостепаненко, Трунов «Эффект Казимира». Там все подробно описано.

[Lesobrod]

Спасибо большое!
Я вот уже нашел книжку на инглише на китайском сервере.)))
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/11835499.html
Теперь наших почитаю и буду умный).
Там есть и про Абеля-Плана. Принципиального отличия от Рамануджана-Харди не вижу, может, построже.

А вот насчет дальнейших расходимостей это интересно.
В принципе уже разобрался с "остаточной" энергией для скалярного поля на одномерном отрезке $[0,a]$.
Для безмассового поля она получается равной $-\frac{\pi\hbar c }{24a}$

Под влиянием границ в данном простейшем случае понимается расходимость при $a \to 0$?
И если да, то действительно, почему "остаточная" энергия стремится к $\infty при уменьшении "объёма"?

[obar]

Lesobrod в сообщении #554181 писал(а):

Под влиянием границ в данном простейшем случае понимается расходимость при $a \to 0$?

Нет. У отрезка нет границ (границы -- точки). Имелись ввиду границы в обычном смысле (где задаются граничные условия $\psi=0$). То, что энергия рассходится при $a \to 0$ вполне предсказуемо: зависимость $E\sim\hbar c/a$ единственно возможная из размерных соображений (для безмассового поля).

[Lesobrod]

Вот блин...С регуляризациями разобрался (кстати, получается минимум четыре метода:
Абеля-Плана, Рамануджана-Харди, Дзета-функции и heat kernel. Они эквивалентны..но не всегда).

А насчет расходимости по размеру области вошел в ступор. По размерности понятно.
Но каков физсмысл и как с ней бороться? Или просто тупо обрезать на планковской длине?

[obar]

Lesobrod в сообщении #554244 писал(а):

Но каков физсмысл и как с ней бороться?

Не забывайте, что в формуле стоит знак минус. Так что при уменьшении размера области энергия уменьшается. Теперь на счет бесконечности.
Чтобы выяснять физический смысл, нужно рассмотреть что-то более физически наглядное, чем скалярное поле. Возьмем, например, электромагнитное поле. Стандартно эффект Казимира трактуют следующим образом. Вакуумные флуктуации поля между проводящими пластинами наводят на них токи. Эти поверхностные токи создают ЭМ поля, которые компенсируют вакуумные поля вблизи пластин так, чтобы они удовлетворяли граничным условиям. По этой причине казимировские силы относят к ван-дер-ваальсовским (флуктуационным). Токи на обоих пластинах скоррелированны. Параллельные токи, как известно, притягиваются. Чем ближе пластины, тем сильнее сила притяжения между ними. В приближении идеальных пластин сила нарастает неограниченно. Для реальных проводников такого, конечно, происходить не будет. Атомарная структура зеркала нарушает его идеальность. Так что бесконечность силы (а значит и энергии) это следствие идеализации модели.