Определите заряд третьего шарика.

[Hi4ko]

Три небольших одинаковых незаряженных металлических шарика расположили
правильным треугольником. Шарики поочередно по одному разу соединяют с
удаленным проводником, потенциал которого поддерживается постоянным. В
результате на первом шарике оказывается заряд, равный Q1, а на втором — заряд,
равный Q2. Определите заряд третьего шарика.

Задача с очного тура олимпиады ПВГ, вообще нет идей как решать. Тогда не было и сейчас нету.
Ответ:
$Q_3 = \frac{Q_2^2}{Q_1}$

[obar]

Задачка совсем не сложная. Соединяя шарик с проводником, вы заряжаете его до потенциала проводника. Чему равен потенциал заряженного шарика знаете? А чему равен потенциал, создаваемый точечным зарядом на расстоянии $a$? Остается только учесть, что потенциал -- функция аддитивная.

[Munin]

Проблема в том, что невозможно не учитывать потенциал провода, которым шарик соединяют с удалённым проводником.

[obar]

У кого такая проблема? Потенциал провода равен потенциалу заряженного тела. Емкость провода считается принебрежимо малой... Где проблемы?

[Munin]

В пространственной картине потенциала. Грубо говоря, взаимные ёмкости шариков при каждом подключении каждый раз разные.

[dovlato]

Ответ действительно такой. Я написал систему:
$\frac{q_1}{r}=U$
$\frac{q_2}{r}+\frac{q_1}{r+a}=U$
$\frac{q_3}{r}+\frac{q_1+q_2}{r+a}=U$
Здесь $r$- условный радиус шариков, $a$- расстояние между ними.
Потенциал проводника $U$.
Собственно, дальше эта система и решается..

[romka_pomka]

Почему заряд равномерно по поверхности распределится?

[obar]

Munin в сообщении #553881 писал(а):

Грубо говоря, взаимные ёмкости шариков при каждом подключении каждый раз разные

Не надо грубо говорить, скажите точно. При зарядке шарика до потенциала $\varphi_0$ индуцированное влияние на него со стороны других (не заряженных) шариков будет порядка $\varphi'=\varphi_0(r/a)^4$. В то же время, разница в конечных зарядах шариков первого порядка по $r/a$.

[Munin]

Да, взаимные ёмкости шариков - это я ерунду написал. Я имел в виду ёмкость от вносимого провода, то есть взаимную ёмкость провода и заряжаемого шарика в момент отрыва провода.

[romka_pomka]

dovlato в сообщении #553888 писал(а):

Ответ действительно такой.

Попалась статья на тему взаимодействия всего двух шаров:
http://journals.ioffe.ru/jtf/2002/01/p15-19.pdf

Кажется, задача про три шара - не для студенческой олимпиады.

[hvost_soroki]

Hi4ko в сообщении #553691 писал(а):

Ответ:
$Q_3 = \frac{Q_2^2}{Q_1}$

Правильными будут также ответы: $Q_3=Q_2=Q_1$,
$Q_3=\frac{Q_1+Q_2}{2}$

dovlato в сообщении #553888 писал(а):

Ответ действительно такой. Я написал систему:
$\frac{q_1}{r}=U$
$\frac{q_2}{r}+\frac{q_1}{r+a}=U$
$\frac{q_3}{r}+\frac{q_1+q_2}{r+a}=U$
Здесь $r$- условный радиус шариков, $a$- расстояние между ними.
Потенциал проводника $U$.
Собственно, дальше эта система и решается..

(Мне не удалось разрешить эту систему относительно геометрических параметров.
Но дело не в этом.)
В подобных задачах часто путают два разных процесса — зарядку конденсатора и зарядку уединённого проводника.
Через потенциалы электростатического поля эту задачу решать нельзя, т.к. потенциал может быть определён с точностью до произвольной постоянной. Другими словами — потенциал $U$ величина произвольная и зависит, относительно чего будем мерить. Если задачу решать таким образом (через потенциалы), то и заряд проводника у нас получится величиной произвольной.
Кроме того, не надо забывать, что проводник в электростатическом поле не заряжается (не изменяет величины своего заряда).
При зарядке конденсатора заряд с одного проводника (обкладки) переносится на другой проводник (обкладку). Вследствие этого суммарный заряд конденсатора не изменяется. И мы учитываем поле (разность потенциалов) только между обкладками.
При зарядке же проводника мы привносим заряд из внешней системы, в данном случае от некоторого «удаленного проводника, потенциал которого поддерживается постоянным». Поэтому в данной задаче зарядка каждого проводника не связана с зарядкой других проводников (принцип суперпозиции).
Таким образом, заряд всех трёх проводников будет одинаковым, а вот разность потенциалов между ними будет неодинаковой (вследствие неодинаковых внешних условий при зарядке).

[hvost_soroki]

hvost_soroki в сообщении #554088 писал(а):

разность потенциалов между ними будет неодинаковой

Готов признать свою ошибку — система симметрична и разность потенциалов между заряженными проводниками будет равна нулю.