Incircle and median

[ins-]

Let $ABC$ is a triangle with incircle $k$. $A_1$, $B_1$, $C_1$ are the points of tangency of $k$ with the sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively. Prove that $A_1B_1$, diameter of $k$ through $C_1$ and the median to $AB$ through $C$ intersects at a common point.

[Dave]

Пусть $I$ - центр $k$, а $D$ - точка пересечения прямой $C_1I$ с отрезком $A_1B_1$. Проведём через точку $D$ прямую, параллельную $AB$. Пусть эта прямая пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $B_2$ и $A_2$ соответственно. Поскольку $\angle IB_1C=\angle IDB_2=\angle IDA_2=\angle IA_1C=90 \textdegree$, то четырёхугольники $B_2B_1DI$ и $A_1A_2DI$ (если $AC>BC$) или $B_1B_2DI$ и $A_2A_1DI$ (если $BC>AC$) - вписанные; случай $AC=BC$ тривиален. Значит $\angle DB_2I=\angle DB_1I=\angle DA_1I=\angle DA_2I$ (использовано то, что треугольник $IB_1A_1$ - равнобедренный), откуда следует равенство прямоугольных треугольников $DB_2I$ и $DA_2I$, а, стало быть, и равенство $B_2D=A_2D$. Остаётся только продлить медиану $CD$ треугольника $B_2CA_2$ до пересечения со стороной $AB$ и обратить внимание на подобие $\triangle B_2CA_2 \sim \triangle ACB$.

[ins-]

Thank you for the beautiful solution.
You can see different approaches on the following links:
http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=10&t=9524
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... &t=472317&