Вычеты

[phys]

Найти все изолированные особые точки, определить тип, найти вычеты.

$f(z) = \dfrac{1}{z(z^2 - 1)}\cos{\dfrac 1 z}$

Особые точки $z = 1, z = 0, z = \infty$

В единице полюс первого порядка, в бесконечности устранимая особая точка, а вот в нуле, я если честно забыл как считать пределы. По идее, предел косинуса не бесконечности не определен, с другой стороны это ограниченная функция и множитель перед косинусом не должен на неё обращать внимания и спокойно идти на бесконечность.

Склоняюсь к тому что это существенно особая точка (предел не определен). Тогда вычет найдем как $C_{-1}$, но, если все разложить в ряд Лорана по $z$ получим не очень хорошее выражение:

$$ \frac 1 z \sum{\left(z^n\right)} \sum{\left((-1)^n z^n\right)} \sum{\left(\frac {(-1)^n} {z^{2n}(2n)!}\right)} $$

Как из него определить $C_{-1}$?

[ewert]

phys в сообщении #553810 писал(а):

предел косинуса не бесконечности не определен, с другой стороны это ограниченная функция

Отнюдь не ограниченная. Нуль -- существенно особая точка.

phys в сообщении #553810 писал(а):

$$ \frac 1 z \sum{\left(z^n\right)} \sum{\left((-1)^n z^n\right)} \sum{\left(\frac {(-1)^n} {z^{2n}(2n)!}\right)} $$

Как-то не очень так, а $-\sum\limits_{k=0}^{\infty}z^{2k} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac {(-1)^n} {z^{2n+1}(2n)!} $. Коэффициент при $\dfrac1z$ легко выписывается в виде ряда, полученного после раскрытия скобок, и этот ряд мгновенно сворачивается.

Но можно этого и не делать: поскольку вычеты в остальных точках известны -- достаточно воспользоваться тем, что полная сумма вычетов по всех особым точкам (включая бесконечность) равна нулю. Только при этом стоит учесть, что одну особую точку Вы потеряли.

[phys]

Ну, та точка что я упустил - очевидно $-1$.

Цитата:

Отнюдь не ограниченная. Нуль -- существенно особая точка.

С этим разобрались.

А вот с рядом не понятно - как вы так ловко получили то что получили, и какие скобки там нужно будет раскрывать?

-- Пт мар 30, 2012 21:38:03 --

О, эврика, я понял как вы получили ряд по $z^{2n}$.

Теперь осталось найти коэфф. при $\dfrac 1 z$

-- Пт мар 30, 2012 21:44:25 --

Дело движется к логическому завершению...

-- Пт мар 30, 2012 21:52:06 --

Коэфф. получился $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}$

К чему сходиться подсчитать не могу - не умею. Оставлю как есть.

[ewert]

phys в сообщении #553911 писал(а):

К чему сходиться подсчитать не могу - не умею.

Умеете. Просто Вы на минутку забыли, как раскладывается косинус. Вот только что помнили -- и вдруг забыли.

Однако идейнее, конечно, получить тот же результат через теорему о полной сумме вычетов.

[phys]

ewert
большое спасибо :)