Преодоление потенциального барьера

[phys]

Подскажите где можно найти решение задачи о преодолении высокого потенциального барьера ($E > U_0$) с полным решением, и определением всех коэффициентов (амплитуд). В бауманском учебнике разобран такой случай, но дается только амлитуда прошедшей волны, что позволяет найти коэф. прохождения, а мне нужен еще и коэф. отражения.
Попробовал сам решить, маловероятно что я там нигде не ошибусь, уж больно много экспонент.

-- Пт мар 30, 2012 14:44:50 --

MATLAB выдал что то вроде
$((k_1^2 - k_2^2)(k_1\exp(a(k_1i - k_2i)) - 2k_1\exp(a(k_1i + k_2i)) + k_1\exp(a(k_1i + 3k_2i)) + k_2\exp(a(k_1i - k_2i)) - k_2\exp(a(k_1i + 3k_2i))))/(k_1^3\exp(a(k_1i - k_2i)) - 2k_1^3\exp(a(k_1i + k_2i)) + k_1^3\exp(a(k_1i + 3k_2i)) + k_2^3\exp(a(k_1i - k_2i)) - k_2^3\exp(a(k_1i + 3k_2i)) + 3k_1k_2^2\exp(a(k_1i - k_2i)) + 2k_1k_2^2\exp(a(k_1i + k_2i)) + 3k_1^2k_2\exp(a(k_1i - k_2i)) + 3k_1k_2^2\exp(a(k_1i + 3k_2i)) - 3k_1^2k_2\exp(a(k_1i + 3k_2i)))$

-- Пт мар 30, 2012 15:06:33 --

Так, перенесите в физику, куча вкладок открыто, случайно не там создал.

whiterussian:

Поубирала звездочки, расставила слэши и подстрочные. Увижу еще раз подобное безобразие - четвертую.

[svv]

Погодите... У Вас одномерная задача: $U=U_0$ для $0<x<h$, и нулю за пределами этого отрезка. Энергия частицы равна $E>U_0$. Правильно?
Одномерное стационарное уравнение Шредингера $\psi''+\frac{2m}{\hbar^2}(E-U)\psi(x)=0$.
Пусть $k^2=\frac{2m}{\hbar^2}E$, $\varkappa^2=\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_0)$. Тогда решение в каждой области имеет вид:
1) $\psi=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$ ($x<0$)
2) $\psi=Ce^{i\varkappa x}+De^{-i\varkappa x}$ ($0<x<h$)
3) $\psi=Ee^{ikx}+Fe^{-ikx}$ ($h<x$)
Если волна падает на барьер слева, то $F=0$. Можно считать, что $A=1$ -- такая нормировка. Остается найти коэффициенты $B, C, D, E$ из условий непрерывности волновой функции и первой производной.
$B$ -- искомая амплитуда отраженной волны, $E$ -- амплитуда прошедшей волны. $|B|^2$ -- коэффициент отражения, $|E|^2$ -- коэффициент прохождения.

[phys]

Все верно, мне как нужно полное решение с уже найденными коэффициентами, самому решать эту систему, скажем так, нет необходимости :)

[svv]

$$\begin{bmatrix}-1&1&1&0\\k&\varkappa&-\varkappa&0\\0&e^{i\varkappa h}&e^{-i\varkappa h}& -e^{ikh}\\0&\varkappa e^{i\varkappa h}&-\varkappa e^{-i\varkappa h}&-ke^{ikh}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}B\\C\\D\\E\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\k\\0\\0\end{bmatrix}$$

(Оффтоп)

От Вас ничего не требуется, это я так, для себя.

[ewert]

phys в сообщении #553808 писал(а):

мне как нужно полное решение с уже найденными коэффициентами, самому решать эту систему, скажем так, нет необходимости :)

Эта задачка -- как раз из числа тех, которую проще решить самому, чем искать готовое решение.

svv в сообщении #553815 писал(а):

это я так, для себя.

Зачем же такие страсти: сшивания же производятся откровенно последовательно -- сначала слева, потом справа. Всего-навсего две простенькие системки два на два.

[Munin]

phys в сообщении #553769 писал(а):

В бауманском учебнике разобран такой случай, но дается только амлитуда прошедшей волны, что позволяет найти коэф. прохождения, а мне нужен еще и коэф. отражения.

Вроде бы, достаточно коэффициент прохождения вычесть из единицы (если потенциал по обе стороны от барьера одинаковый).

[obar]

Munin в сообщении #553827 писал(а):

если потенциал по обе стороны от барьера одинаковый

Эта оговорка лишняя.

[Munin]

obar в сообщении #553846 писал(а):

Эта оговорка лишняя.

Если её не ввести (в условиях задачи в начале темы она есть, я не обратил внимания), то

$$\lvert R\rvert^2+\frac{k_2}{k_1}\lvert S\rvert^2=1,$$

где $k_i=\sqrt{E-U_i}.$ В обозначениях svv $B/A$ и $E/A$ вместо $R$ и $S.$

[phys]

whiterussian
Я скопировал из матлаба и не парился, это сделано для того чтобы показать какое ужасное получилось решение (:
Надо было загнать под спойлер.

А вот про то что можно просто вычесть из еденицы - мне такая мысль приходила, но можно ли ей пользоваться, знаю только что для порога это верно.

[obar]

Munin в сообщении #553880 писал(а):

Если её не ввести (в условиях задачи в начале темы она есть, я не обратил внимания), то

Где вы видели такое определение коэффициентов прохождения и отражения? Они определяются через отношения плотностей потоков

$$ j_{i}-j_{r}=j_t\,,\quad R=\frac{j_r}{j_i}\,,\; D=\frac{j_t}{j_i}\quad \Rightarrow\quad R+D=1. $$

[Munin]

В Мессиа видел. Коэффициенты можно определять и через плотности потоков, и через коэффициенты в волновых функциях, от этого суть не меняется - в случае разных уровней надо про множитель не забыть.

[obar]

Munin в сообщении #553952 писал(а):

В Мессиа видел

Посмотрел учебник Мессиа. Вы не внимательно читали. Там написано:

Цитата:

Величина $T=\frac{k_2}{k_1}\,|S|^2$ называется коэффициентом прохождения.

Это определение совпадает с определением через потоки.

Munin в сообщении #553952 писал(а):

Коэффициенты можно определять и через плотности потоков, и через коэффициенты в волновых функциях, от этого суть не меняется

Суть меняется. Во-первых, поток -- это наблюдаемая величина, имеющая ясный физический смысл (а вместе с этим приобретают смысл и коэффициенты прохождения и отражения). Во-вторых, поток -- величина сохраняющаяся. Как следствие, мы всегда имеем соотношение $R+D=1$.

[Munin]

obar в сообщении #553965 писал(а):

Вы не внимательно читали.

Ну хорошо.

[whiterussian]

obar
Не цепляйтесь мелочам. Отнормируйте все на единицу для $j_i$ и будет всем счастье.

[Munin]

Пардон, это я не отнормировал, а obar как раз отнормировал. Так что принимаю на свой счёт. Да, я не спорю, что будет счастье, просто хотел напомнить о маленьком нюансе этого счастья.