отсутствие сходимости sin(nx) в L^p (loc)

[anal]

Нужно показать отсутствие сходимости sin(nx) в $L^p_{loc}$ для всех $p \ge 1$.

Так как есть включение пространств Лебега (локальных), то достаточно доказать для $L^1_{loc}$. Видимо, надо найти интервал и оценку сверху на $sin(nx)$.
Если воспользоваться оценкой $sin(nx) \ge 2x/\Pi$, то интервал тоже придется взять [0, \Pi/2], такая оценка имеет немного смысла:(

Как поступить?

[Oleg Zubelevich]

последовательность сходится к нулю слабо в $L^1[-\pi,\pi]$, если бы она сходилась сильно, то тоже к нулю

[Полосин]

Можно и "в лоб" - по критерию Коши. Это не так элегантно, но зато не требует привлечения понятия слабой сходимости.

[anal]

Полосин в сообщении #553915 писал(а):

Можно и "в лоб" - по критерию Коши. Это не так элегантно, но зато не требует привлечения понятия слабой сходимости.

Объясните пожалуйста, причем здесь критерий Коши? Нам не нужно исследовать интеграл н а всей прямой, нужно исследовать на компактах.

[anal]

Oleg Zubelevich в сообщении #553885 писал(а):

последовательность сходится к нулю слабо в $L^1[-\pi,\pi]$, если бы она сходилась сильно, то тоже к нулю

Также она сходится слабо на $[0, 2\pi]$.
Попробуем найти интеграл от$sin(nx)$ на $[0, 2\pi]$:
$I=2nI_1$, где $I_1$ - интеграл от 0 до первого корня функции, т.е. $\pi/n$ (площадь первого горбика).
Вычисляем последний явно и получаем, что он равен $2/n$. Таким образом, $I=2n*2/n=4$.

С одной стороны, этот интеграл существует и конечен (что свидетельствует о сходимости), с другой стороны, он не равен нулю, как ожидалось. Можно из этого противоречия заключить, что интеграл не существует? (Хотя как он может не существовать, если мы его явно нашли)