доказательства нет как нет.
Ну это Вы хватили...
Доказательство.
Рассмотрим решение уравнения (*)

такое, что
![$\dot x(0,\xi)=0,\quad x(0,\xi)=\xi\in [-1,1]$ $\dot x(0,\xi)=0,\quad x(0,\xi)=\xi\in [-1,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/b/9db4670f5fe2ea8cbef6c735aa21ead382.png)
.
Предположим, что все решения выходят нам границу

.
Пусть

-- время первого выхода на границу решения

т.е. либо

либо

.
Заметим, что при

будет

Действительно, предположим, что

и пусть для определенности

. Тогда в силу условия теоремы и уравнения (*) имеем

-- точка

является локальным минимумом функции

, что невозможно.
Отметим, что
Это следует из уравнения

и теоремы о неявной функции, ибо

.
Остается доказать, что функция

непрерывна в 1 (for -1 the argument is the same). Это вытекает из
уравнения

откуда при

находим

Таким образом при

имеем

Значит
![$\tau(\xi)\in C[-1,1]$ $\tau(\xi)\in C[-1,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/9/08924ae232e4f61fc6f3e00e2be128be82.png)
.
По доказанному, отображение

является непрерывным ретрактом

отрезка на его границу. Что невозможно.
ЧТД