Интеграл, ряд и предел.

[Arcanine]

1. Доказать, что $\int\limits_1^3 t^tdt\ge 7.$

(Оффтоп)

$t^t=e^{t\ln t}$ и в ряд.

2. Вычислить $\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{\frac{2}{1}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot...\cdot\frac{3n-1}{n}}.$

3. Доказать, что $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^{n!}}<1,1.$

[xmaister]

Arcanine в сообщении #552808 писал(а):

2. Вычислить $\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{\frac{2}{1}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot...\cdot\frac{3n-1}{n}}.$

Тут теорема Штольца

Arcanine в сообщении #552808 писал(а):

1. Доказать, что $\int\limits_1^3 t^tdt\ge 7.$

Разбейте на сумму 2ух интегралов и оцените снизу степенной функцией.

Arcanine в сообщении #552808 писал(а):

3. Доказать, что $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^{n!}}<1,1.$

Попробуйте переписать в 2ичной записи.

[Human]

2. Наверное имелся в виду корень $n$-ой степени.

[Arcanine]

Human пожалуй, склонен согласиться. Тогда получается интегральная сумма.

[Human]

Arcanine в сообщении #552821 писал(а):

Human пожалуй, склонен согласиться. Тогда получается интегральная сумма.

Не, там не будет интегральной суммы. Я так понимаю, Вы свели предел к виду:
$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{2}{1}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot...\cdot\frac{3n-1}{n}}=e^{\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}\frac1n\ln{\frac{3k-1}k}}$
То, что стоит в показателе экспоненты, не есть интегральная сумма, так как там точки, в которых рассматривается значение функции $\ln{\frac{3x-1}x}$, все время берутся натуральными, то есть расстояние между ними больше 1 даже если считать, что $\frac1n$ - это мелкость разбиения. Да и вообще там бесконечный луч разбивается, так что это в любом случае не интеграл

Дальше надо либо как сказал xmaister пользоваться теоремой Штольца, либо вспомнить тот факт, что если $x_n\to a$, то и $y_n=\frac1n\sum\limits^n_{k=1}x_k\to a$. Это, кстати, является следствием теоремы Штольца.

(Оффтоп)

Я, кстати, только благодаря этой ветке узнал о теореме Штольца и о том, как ей пользоваться. Теперь у меня на вооружении новый инструмент для вычисления пределов

[Arcanine]

Human да. Поторопился с интегральной суммой. Ей и не "пахло".

(Оффтоп)

Цитата:

Я, кстати, только благодаря этой ветке узнал о теореме Штольца и о том, как ей пользоваться. Теперь у меня на вооружении новый инструмент для вычисления пределов

Human честно говоря, и я то узнал не так давно.

[ИСН]

1 - боян, topic45888.html

[Arcanine]

ИСН благодарю.
А если всё же во 2-ом корень квадратный? Тогда с какой стороны подойти?

[Shadow]

Arcanine в сообщении #552983 писал(а):

А если всё же во 2-ом корень квадратный? Тогда с какой стороны подойти?

А если вообще никакого корня нету?

[Arcanine]

Цитата:

А если вообще никакого корня нету?

Так корень квадратный не влияет на существование конечного предела.

[Human]

Arcanine в сообщении #552983 писал(а):

ИСН благодарю.
А если всё же во 2-ом корень квадратный? Тогда с какой стороны подойти?

Тогда выражение под корнем каждый раз при увеличении $n$ на единицу умножается как минимум на 2, поэтому все это дело стремится к бесконечности. Более строго:
$\frac{2}{1}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{8}{3}\cdot...\cdot\frac{3n-1}{n}\geqslant\frac{2}{1}\cdot\frac{4}{2}\cdot\frac{6}{3}\cdot...\cdot\frac{2n}{n}=2^n$
Так что если там стоит корень любой (постоянной) конечной степени, то будет беспредел

[Arcanine]

Human а как может быть "беспредел", если общий "товарищ" стремится к 3?

[MrDindows]

Arcanine в сообщении #553100 писал(а):

Human а как может быть "беспредел", если общий "товарищ" стремится к 3?

Три умножить на три, умножить на три, умножить на три, ..три..три..три..три..три..три... Будет что?)

[Human]

Arcanine в сообщении #553100 писал(а):

Human а как может быть "беспредел", если общий "товарищ" стремится к 3?

А кого Вы называете общим товарищем: общий член последовательности, который равен $\prod\limits^n_{k=1}\frac{3k-1}k$, или же лишь его $n$ - ый множитель, который равен $\frac{3n-1}n$? Если первое, то, как я уже написал ранее, этот товарищ оценивается снизу общим членом последовательности, стремящейся к бесконечности, значит и исходная последовательность туда стремится. Если второе, то да, $\frac{3n-1}n\to 3$, но это лишь "часть" общего члена последовательности.