Система с параметрами (метод Ньютона)

[Evervoid]

Выяснить, при каких значениях параметров система не имеет решений
$ \begin{cases} \sin (x+ky)-xy=-1\\ \frac {x^2} a -y^2=\frac 3 4 \end{cases}$

Задачка для вычметодов. Нужно как-то найти приближенные значения $a$ и $k$, при которых решения у системы нет (Ходят слухи, что обычно у нее одно решение).
Я тут подумал, что это бывает, когда якобиан у системы равен нулю, точно или приближенно.
Но якобиан этой системы выражается так:
$-2y(\cos (x+ky)-y)-\frac {2x} a(k \cos (x+ky) -x)$
То есть, решения нет, когда $y^2+\frac {x^2} a=(y+\frac {kx} a)\cos (x+ky)$
Но как что-либо получить из последнего, не понятно.

[мат-ламер]

Evervoid в сообщении #552608 писал(а):

(Ходят слухи, что обычно у нее одно решение).

Попробуйте подумать на эту тему и понять ничего не решая, что обычно у этой системы чётное число решений.
А вот момент, когда у системы одно решение особо нам интересен, поскольку в этом случае параметры $a$ и $k$ находятся на границе областей, которые надо нам найти. Как приплести сюда якобиан я не понял, и скорее всего это неверно. Для начала советую в к-либо математическом пакете построить график первого уравнения.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #552768 писал(а):

Попробуйте подумать на эту тему и понять ничего не решая, что обычно у этой системы чётное число решений

Туп произошла небольшая путаница. Перепутав знаки у себя на бумаге, решил, что второе уравнение - эллипс. Для него очевидно, что почти всегда чётное чмсло решений. Затем, когда уже отвечал на компьютере - вижу, что второе уравнение - гипербола. Там чаще всего правая ветвь гиперболы пересекается с первом квадранте с первой кривой, а левая ветвь гиперболы персекается с первой кривой в третьем квадранте. Но это не так очевидно.

[Evervoid]

Нам говорили, что чтобы найти последовательность точек, сходящихся к решению системы, нужно найти якобиан и еще два определителя с участием производных, а само решение будет выглядеть как и в методе Ньютона для одной переменной, но вместо производной функции будет как раз отношение определителей, где в знаменателе как раз якобиан.
Гипербола-то это понятно, но четности-нечетности тут нет никакой, видимо.
А вот как получается по два решения, этого я не понял из Ваших рассуждений.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #552799 писал(а):

Туп произошла небольшая путаница. Перепутав знаки у себя на бумаге, решил, что второе уравнение - эллипс. Для него очевидно, что почти всегда чётное чмсло решений. Затем, когда уже отвечал на компьютере - вижу, что второе уравнение - гипербола.

Безо всякой геометрии видно, что система не меняется, если у $x$ и $y$ одновременно поменять знак.

[Evervoid]

В первом уравнении тогда синус меняет знак, а произведение не меняет.

[Munin]

А, да, перепутал.

[Evervoid]

up

Evervoid,

Предупреждение за подъём темы бессодержательным сообщением.
Правила форума.

[мат-ламер]

Evervoid
Вы наверное покрутили график первого уравнения в матпакете. У меня есть гипотеза, что график этого уравнения асимптотически стремится к осям координат (и/или касается этих осей). Отсюда следует, что при положительном $a$, когда график второго уравнения гипербола, эта гипербола обязательно будет пересекаться с графиком первого уравнения. Причём, как минимум, в двух точках. А при отрицательном $a$, когда график второго уравнения эллипс - нужно разбираться. Вокруг нуля явно есть область, свободная от первого графика. Маленький эллипс с ним пересекаться не будет. Раздувая эллипс, мы столкнёмся с ситуацией, когда он будет касаться первого графика. Вот этот момент нас интересует. При этом будет одна точка пересечения. А дальше раздувая эллипс, получим две точки пересечения. Дальше больше. Найти момент касания можно так. Просматривая с каким-то мелким шагом точки первого графика, будем вычислять их расстояния до нуля в эллипсоидальной метрике. И затем надо будет выбрать точку с наименьшим расстоянием.

[Evervoid]

Но если мы возьмем отрицательное $a$, то у нас мнимый эллипс получится. Ну, множество точек пустое.