Найти натуральное число.

[Иван_85]

Найти натуральное число, которое при делении на 9, 16 и 25 дает в остатке 2, 6 и 11 соответственно.

[temp03]

$3600m-1114$

[Иван_85]

temp03 в сообщении #552986 писал(а):

$3600m-1114$

Как Вы это получили?
Мое решение.
$a=9c_1+2 $,$(1)$
$a=16c_2+6$,$(2)$
$a=25c_3+11$.$(3)$
Сразу можно заметить, что $a$-четно, $c_1$- четно, $c_3$-нечетно.
Из того, что $c_3$-нечетно следует, что число $a$ заканчивается цифрами $36$, либо $86$. Но $a$ не может заканчиваться цифрами $36$, так как $a-6=16c_2$ делится на $2^2$. А $a-6$ заканчивается цифрами $30$ и такое число не делится на $2^2$.
Отсюда следует, что $a$ заканчивается цифрами $86$.
Из (2) видно, что $c_2$ делится на 10. Отсюда следует, что $a\ge166$.
Сначала предположим, что $a$-трехзначное.
Тогда дописываем в старший разряд этого числа цифру так(по признаку делимости на 9), чтобы $a-2$ делилось на 9. Это можно сделать единственным способом. $a=686$. Это число не подходит так как оно не удовлетворяет (2).
Теперь предположим, что $a$-четырехзначное.
Выпишем все 4-значные числа на основе (1):
9686
8786
7886
6986
5186
4286
3386
3486
2486
1586.
Только 2486 удовлетворяет (2). (он автоматически удовлетворяет (3)).
Ответ: $a=2486$.
Что-то сдается мне, что есть решение попроще этого.

[temp03]

Из соотношения $P=9k+2=16m+6=25n+11$. Откуда $k=25p+1$. Далее подставляя получаем $9(\overbrace{25p+1}^{k})-4$ делится на $16$. Т.е. $p+5\div16$ или $p=16t-5$. Подставляем, раскрываем скобки:
$9(\overbrace{25(\underbrace{16t-5}_{p})+1}^{k})+2=3600t-1114$

-- Ср мар 28, 2012 15:37:26 --

(Оффтоп)

Иван_85 в сообщении #552989 писал(а):

Выпишем все 4-значные числа на основе (1):
9686
8786
7886
6986
5186
4286
3386
3486
2486
1586.
Только 2486 удовлетворяет (2). (он автоматически удовлетворяет (3)).

$6086$ тоже удовлетворяет, но вы его почему-то попустили.

[Иван_85]

temp03 в сообщении #553003 писал(а):

Из соотношения $P=9k+2=16m+6=25n+11$. Откуда $k=25p+1$. Далее подставляя получаем $9(\overbrace{25p+1}^{k})-4$ делится на $16$. Т.е. $p+5\div16$ или $p=16t-5$. Подставляем, раскрываем скобки:
$9(\overbrace{25(\underbrace{16t-5}_{p})+1}^{k})+2=3600t-1114$

Спасибо за решение!

-- Ср мар 28, 2012 14:19:01 --

temp03, откуда взялось $k=25p+1$?

[MrDindows]

Иван_85 в сообщении #553016 писал(а):

temp03 в сообщении #553003 писал(а):

Из соотношения $P=9k+2=16m+6=25n+11$. Откуда $k=25p+1$. Далее подставляя получаем $9(\overbrace{25p+1}^{k})-4$ делится на $16$. Т.е. $p+5\div16$ или $p=16t-5$. Подставляем, раскрываем скобки:
$9(\overbrace{25(\underbrace{16t-5}_{p})+1}^{k})+2=3600t-1114$

Спасибо за решение!

-- Ср мар 28, 2012 14:19:01 --

temp03, откуда взялось $k=25p+1$?

Уравнение в целых числах.
$9k+2=25n+11$
$k=1+\frac{25n}{9}$
И тд...