методы оптимизации

[Sverest]

в методичке нашел:
Решить задачу
$f(x)=x_{1}^3+x_{2}^3-3 x_1 x_2 \to \min$

$$ \begin{cases} 3 x_{1}^2-3 x_2=0\\ 3 x_{2}^2-3 x_1=0\\ \end{cases} $$

решением этой системы является $x^{(1)}=(0;0),\: x^{(2)}=(1;1)$

при этом $f''(x)=\left( \begin{array}{cc} 6x_1 & -3 \\ -3 & 6x_2 \end{array} \right)$

меня интересует: как получили последнюю матрицу?

[ИСН]

Очень просто: сели и нашли все производные второго порядка.

[Sverest]

в первой строке матрицы понятно, а во второй, то что члены поменялись местами, это так обязательно делать?

[samson4747]

$a_{11}=f''_{x_{1}x_{1}}$
$a_{12}=f''_{x_{1}x_{2}}$
$a_{21}=f''_{x_{2}x_{1}}$
$a_{22}=f''_{x_{2}x_{2}}$
$f''(x)=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)$

[Sverest]

а $\Delta_1$ матрицы

$$f''_1 (x)=\left( \begin{array}{cc} 0 & -3 \\-3 & 0 \end{array} \right)$$

будет $0 \cdot 0-(-3 \cdot -3)=-9$ ?

[samson4747]

Если всё правильно помню то это задачка на теорему Куна-Таккера(модифицированное)условие Cлейтера.
$\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_{12}$ это главные миноры $f''(x)$, этим мы проверим выпуклость $f(x)$, точнее говоря $f(x)$ выпуклая если $x_1\geqslant0$, $x_2\geqslant0$ и $4 x_1 x_2+1\geqslant0$.

[Sverest]

В методичке написано:
Согласно критерию Сильвестра матрица $f''(x^{(1)})$ не является положительно определенной, а матрица $f''(x^{(2)}) $- положительно определена, т.к.
$\Delta_1 =6>0, \; \Delta_2=36-9=27>0. $
Следовательно $x^{(1)}$ -не является решением
$x^{(2)}$ - точка строгого локального минимума

$\Delta_1 =6>0 $ - мне кажется это опечатка, не пойму как они $6$ получили

[ewert]

Sverest в сообщении #554113 писал(а):

$\Delta_1 =6>0 $ - мне кажется это опечатка, не пойму как они $6$ получили

$\Delta_1=a_{11},\ \ \Delta_2=\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right|$

[Sverest]

а если пример вот такой:
$f(x)=x_{1}^{2}-3x_1+x_{2}^{2}+8x_2$

$2x_1-3=0 \\ 2x_2+8=0$

$x_1=1.5 \\ x_2=-4 $
матрица:
$\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\0 & 2 \end{array} \right)$

$\Delta_1=2 >0 \\ \Delta_2=4 >0$

Значит $(1.5;-4)$ - точка минимума

так будет?

[ewert]

Разумеется, только тут считать вообще ничего не нужно: $f(x_1,x_2)=\mathrm{const}$ -- это окружность.

[Sverest]

как из уравнения $-2x_1 - x_2=a$, где $a$ - вещественное число

получили $f'(0)=(-2,-1)$ ?

ведь $(-2x_1 - x_2)'=-2-1$

[samson4747]

$f'(x)=(f'_{x_1},f'_{x_2})$

[arqady]

Sverest в сообщении #552932 писал(а):

в методичке нашел:
Решить задачу
$f(x)=x_{1}^3+x_{2}^3-3 x_1 x_2 \to \min$

$$ \begin{cases} 3 x_{1}^2-3 x_2=0\\ 3 x_{2}^2-3 x_1=0\\ \end{cases} $$

решением этой системы является $x^{(1)}=(0;0),\: x^{(2)}=(1;1)$

при этом $f''(x)=\left( \begin{array}{cc} 6x_1 & -3 \\ -3 & 6x_2 \end{array} \right)$

меня интересует: как получили последнюю матрицу?

Зачем её получать-то? Минимума, очевидно, не существует.

[Sverest]

arqady в сообщении #554507 писал(а):

Зачем её получать-то? Минимума, очевидно, не существует.

но в методичке написано, что точка $x^{(2)}$ точка строгого локального минимума $f(x)$

[arqady]

При чём тут методичка? Вы же написали, что надо исследовать функцию на минимум.