Нетривиальный стабилизатор при действии группы симметрий

[Sonic86]

xmaister в сообщении #552256 писал(а):

Я так понял, что действие группы, в частности $\operatorname{Sym}(n)$, на множестве $\mathbb{R}^2$ понимается как произвольный гомоморфизм $\alpha :\operatorname{Sym}(n)\to\mathbb{R}^2$, если не оговорено что-то конкретное.

Быть может все же имелось ввиду с точностью до сдвига, что $\alpha (g)=g$? А то группа на $\mathbb{R}^2$ может действовать достаточно сложно (условно говоря, даже не "непрерывно").
А! Ну так действительно: конечная группа диэдра - подгруппа конечной группы перестановок порядка $m$. Разбиваем плоскость на произвольные $m$ равномощных кусков $M_1,...M_m$, устанавливаем биекции между этими кусками и тогда $G$ может действовать на $\mathbb{R}^2$ "перестановкой" множеств $M_j$. Как описать здесь стабилизаторы - вообще какая-то ужасная задача, так что скорее всего $\alpha (g)=g$
Я Вас правильно понял?

[xmaister]

Sonic86
, тогда решаю в предположении что $\alpha (g)=g$. Понимаю эту штуку как продолжение $g$ до изометрии с $n$-угольника на $\mathbb{R}^2$. Это правильно? И вообще это продолжение единственно или могут быть ещё какие-то? Теперь если точка $x\in\mathbb{R}^2$ не лежит ни в центре $n$-угольника ни на одной из его осей симметрии, то $\operatorname{St}(x)=\{r_0\}$, т.е. такие точки имеют тривиальный стабилизатор. Если $x=x_0$- центр многоугольника, то $\operatorname{St}(x_0)=\operatorname{Sym}(n)$, если $x$ лежит на оси симметрии, но не в центре $n$-угольника, то $\operatorname{St}(x)=\{r_0,r_s\}$, $r_s$- отражение относительно данной оси. Ну что-то я уж очень сильно сомневаюсь в этом решении. Как-то просто вроде . Пытался посчитать орбиты этих точек и в результате возник такой вопрос: Пусть задано действие группы $G$ на множестве $X$ и $x\in X$. Как доказать, что $|G|=|\operatorname{St}(x)|\times|\operatorname{Orb}(x)|$? Проверил для диэдра, вроде верная формула.

[Sonic86]

xmaister в сообщении #552649 писал(а):

, тогда решаю в предположении что $\alpha (g)=g$. Понимаю эту штуку как продолжение $g$ до изометрии с $n$-угольника на $\mathbb{R}^2$. Это правильно?

Ну да, по-моему, это просто единственный способ сделать задачу "посильной" или "неабстрактной" (можно было и у автора уточнить, чего ему хотелось)

xmaister в сообщении #552649 писал(а):

И вообще это продолжение единственно или могут быть ещё какие-то?

Скорее всего очень неединственно.

xmaister в сообщении #552649 писал(а):

Теперь если точка $x\in\mathbb{R}^2$ не лежит ни в центре $n$-угольника ни на одной из его осей симметрии, то $\operatorname{St}(x)=\{r_0\}$, т.е. такие точки имеют тривиальный стабилизатор. Если $x=x_0$- центр многоугольника, то $\operatorname{St}(x_0)=\operatorname{Sym}(n)$, если $x$ лежит на оси симметрии, но не в центре $n$-угольника, то $\operatorname{St}(x)=\{r_0,r_s\}$, $r_s$- отражение относительно данной оси. Ну что-то я уж очень сильно сомневаюсь в этом решении. Как-то просто вроде

Все так я только об этом решении и думал

xmaister в сообщении #552649 писал(а):

Пусть задано действие группы $G$ на множестве $X$ и $x\in X$. Как доказать, что $|G|=|\operatorname{St}(x)|\times|\operatorname{Orb}(x)|$? Проверил для диэдра, вроде верная формула.

Так очевидно же (раз Вы формулу увидели, значит она Вам должна быть очевидной ): пусть $G$ действует на множестве $G\cdot x=\operatorname{Orb}(x)$ - здесь всего $|\operatorname{Orb}(x)|$ точек. Элементы смежных классов $g\operatorname{St}(x)$ переводят $x$ в $gx$, смежные классы равномощны, значит мощность группы - это мощность стабилизатора (смежного класса по $e$) умножить на число элементов в орбите.

(Оффтоп)

Есть похожее полезное утверждение - лемма Бернсайда, хотя бы тут:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0% ... 0%B4%D0%B0
(ну или в книжках по комбинаторике или по группам)

[xmaister]

Sonic86, большое спасибо Вам за помощь ! Но ещё хотелось уточнить пару моментов:

Sonic86 в сообщении #552687 писал(а):

Скорее всего очень неединственно.

Тогда хотелось бы пример найти. Но мне почему-то кажется, что нет. Ведь у $\mathbb{R}^2$ изометрии- это повороты, параллельные переносы, симметрии и только они. Но доказать не получается.

Sonic86 в сообщении #552687 писал(а):

пусть $G$ действует на множестве $G\cdot x=\operatorname{Orb}(x)$

Не совсем понятно, зачем вводить действие на подмножество $X$-$\operatorname{Orb}(x)$. Вроде и без этого ясно, что каждый элемент смежного класса действует одинаково на $x$. В таком случае понимать действие $G$ на $\operatorname{Orb}(x)$, если действие $G$ на $X$ уже задано, следует как ограничение $g|_{\operatorname{Orb}(x)}$? А можно ли задать действие $G$ на произвольное подмножество $X$, если оно уже задано на $X$? И нужно ли это для чего-нибудь?

[Sonic86]

xmaister в сообщении #552712 писал(а):

Тогда хотелось бы пример найти. Но мне почему-то кажется, что нет. Ведь у $\mathbb{R}^2$ изометрии- это повороты, параллельные переносы, симметрии и только они. Но доказать не получается.

Ааа, если мы считаем, что $g$ - изометрия, тогда может продолжение и единственно (если не изометрия, можно какое-нибудь корявое действие взять). Все изометрии у нас - это переносы, повороты, симметрии и скользящие симметрии (т.е. композиции симметрий и переносов) (это классификационная теорема движений плоскости). Поскольку при действии группы центр многоугольника остается на месте, то $g$ имеет неподвижную точку. Если неподвижная точка одна, то это - поворот, иначе - симметрия. Так что продолжение единственно.
Вообще, движение $g$ на плоскости определяется тройкой неколлинеарных точек и их тройкой образов под действием $g$ (линейное преобразование - 6 параметров). Поскольку правильный многоугольник у нас имеет как минимум 3 точки, то задание изометрии $g$ на нем определяет действие изометрии на всей плоскости однозначно.

xmaister в сообщении #552712 писал(а):

Не совсем понятно, зачем вводить действие на подмножество $X$-$\operatorname{Orb}(x)$.

Получается, что для доказательства можно вводить. Если Вас эта идея смущает - попробуйте написать свое, может у Вас что-то иное получится, чем больше доказательств - тем лучше
Если на всем $X$ рассматривать действие $G$ то может получиться несколько орбит разной длины. Например, в правильном многоугольнике с центром центр - всегда орбита длины 1.

xmaister в сообщении #552712 писал(а):

В таком случае понимать действие $G$ на $\operatorname{Orb}(x)$, если действие $G$ на $X$ уже задано, следует как ограничение $g|_{\operatorname{Orb}(x)}$?

да

xmaister в сообщении #552712 писал(а):

А можно ли задать действие $G$ на произвольное подмножество $X$, если оно уже задано на $X$?

не всегда, можно тогда и только тогда, когда $G\cdotX \subseteq X$ - не выходит за пределы множества (например, если мы возьмем ось Ох в качестве $X$ и все повороты относительно начала координат, то действиями выйдем за пределы оси на всю плоскость)

xmaister в сообщении #552712 писал(а):

И нужно ли это для чего-нибудь?

ну вот в доказательстве пригодилось ограничения рассматривать полезно тоже

[xmaister]

Sonic86 в сообщении #552755 писал(а):

попробуйте написать свое

Идея та же самая, только равенство $|G/\operatorname{St}(x)|=|\operatorname{Orb}(x)|$ я обосновывал так: $f:G/\operatorname{St}(x)\to\operatorname{Orb}(x)$, такое что $f(g\operatorname{St}(x))=gx$- инъективно и сюръективно. Сюръективность проверял двумя включениями. А тут уже теорема Лагранжа.

[Sonic86]

xmaister в сообщении #552764 писал(а):

Идея та же самая, только равенство $|G/\operatorname{St}(x)|=|\operatorname{Orb}(x)|$ я обосновывал так: $f:G/\operatorname{St}(x)\to\operatorname{Orb}(x)$, такое что $f(g\operatorname{St}(x))=gx$- инъективно и сюръективно. Сюръективность проверял двумя включениями. А тут уже теорема Лагранжа.

Тоже вариант