вычисление длины кривой

[shumakovaeo]

интеграл вроде посчитала, но вот ответ несколько смущает размерами, скажите что не верно?
вычислить длину кривой
$r=12e^{\frac{12}{5}f}, f\in[0;\frac{\pi}{3}]$
по формуле $L=\int{\sqrt{r+r'^2}df}$
подставляем, делаем замену $t=12e^{\frac{12}{5}f}$,
затем еще замену $u=\frac{1+5.76t}{t}$

и получаем $-\frac{5}{12}(\ln{|u-5.76|}-\frac{5.76}{u-5.76})$

а еще надо пределы подставить $a=\sqrt{\frac{70.12}{12}}, b=\sqrt{\frac{1+70.12e^{0.8\pi}}{12e^{0.8\pi}}}$

[Human]

shumakovaeo в сообщении #552760 писал(а):

вычислить длину кривой
$r=12e^{\frac{12}{5}f}, f\in[0;\frac{\pi}{3}]$

$f$, я так полагаю, это $\varphi$?

shumakovaeo в сообщении #552760 писал(а):

подставляем, делаем замену $t=12e^{\frac{12}{5}f}$,

Зачем там вообще замену делать? Под интегралом получится обычная экспонента от линейной функции, она легко берётся.
Но даже если и делать замену, как Вы пришли к такому

shumakovaeo в сообщении #552760 писал(а):

затем еще замену $u=\frac{1+5.76t}{t}$

а потом к такому

shumakovaeo в сообщении #552760 писал(а):

и получаем $-\frac{5}{12}(\ln{|u-5.76|}-\frac{5.76}{u-5.76})$

а еще надо пределы подставить $a=\sqrt{\frac{70.12}{12}}, b=\sqrt{\frac{1+70.12e^{0.8\pi}}{12e^{0.8\pi}}}$

, не пойму

У меня ответ, если что, $L=13(e^{\frac{4\pi}5}-1)$

[svv]

shumakovaeo
Длина дуги в полярных координатах: $L=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}{\sqrt{r^2+r'^2}d\varphi}$. У Вас нет квадрата при $r$.
Это случайная описка только в сообщении, или Вы и считали по неправильной формуле?

[Human]

svv в сообщении #552800 писал(а):

Длина дуги в полярных координатах: $L=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}{\sqrt{r^2+r'^2}d\varphi}$. У Вас нет квадрата при $r$.

Чёрт, не заметил Ну тогда понятно, откуда такая замена: это как раз то, что получится под корнем. Хотя, по-моему, даже так интеграл неверно посчитан.

[svv]

Вычислил длину дуги кривой $r(\varphi)=Ae^{k\varphi}$, $A>0$, $k>0$, $\varphi_1\leqslant \varphi \leqslant \varphi_2$. Получилось:

$$L=A\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\left(e^{k\varphi_2}-e^{k\varphi_1}\right)=\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\left(r(\varphi_2)-r(\varphi_1))$$

Гораздо проще считать в буковках, а потом подставлять значения!
Ответ совпал с тем, что получил Human.

[shumakovaeo]

спасибо, изучала тему давненько и формулу смотрела в книжке. думала выписала не верно, а там правда формула неверная(как в первом посте) (Шипачев В.С. задачник по высшей математике, 1998г, с109)

получился простой интеграл и ответ как и указал Human.

[Yu_K]

shumakovaeo
Длину дуги в полярных координатах можно найти просто из выражений
$L=\int\limits_{t_1}^{t_2}{\sqrt{x(t)'^2+y(t)'^2}dt}$

$x(t)=r(t)\cos{t}$
$y(t)=r(t)\sin{t}$

[Human]

svv в сообщении #552813 писал(а):

Гораздо проще считать в буковках, а потом подставлять значения!

(Оффтоп)

Справедливое замечание. Это, наверное, потому, что чиселки уже на автомате хочется перемножить или ещё как-то упростить, и в процессе вычисления возникают новые ошибки, которые потом влияют на конечный ответ, и при этом непонятно, то ли в формулах накосячил, то ли арифметика ни к черту. С буквами таких проблем нет.