Каково дальнейшее решение несобственного интеграла?

[svv]

А с этим интегралом всё в порядке, так как он "сдвинут на единицу вправо" от опасной точки:
$\int\limits_1^{\ln 4} \frac{dt}{t} = \left.\ln t \right|_{1}^{\ln 4}=\ln\ln 4-\ln 1 =\ln\ln 4-0=\ln\ln 4$
Это всего лишь конечный интеграл, и он уже никак не может повлиять на ответ задачи. Он был бы важен, если бы первый интеграл тоже был конечным.

$\ln 1$ -- это не страшно, это равно нулю, а $\ln 0$ -- страшно, это $+\infty$.

[Tkas]

svv в сообщении #552708 писал(а):

Это всего лишь конечный интеграл, и он уже никак не может повлиять на ответ задачи. Он был бы важен, если бы первый интеграл тоже был конечным.

Ааа, так я невнимательно пропустил тот факт, что у нас два интеграла, а не один)
А почему нужно брать 1+0, а не $t->ln4$? Я что-то знаю, про подынтегральную функцию, но если подставить туда эти числа (е и 4), то там же результат будет в обоих случаях, подынтегральная функция определена...

[svv]

Такое обозначение значит: "осторожно приближаемся к $1$ справа" (слева не можем, потому что даже при $t=1-0.00001$ функция $\ln(t-1)=\ln (-0.00001)$ уже не определена). Это называется "предел справа", или "правосторонний предел".

Правда, в данном случае даже эта предосторожность не помогает, потому что предел справа не существует. Но всё-таки почувствуйте разницу:
правосторонний предел функции $\ln(t-1)$ в точке $t=1$ не существует, потому что функция при приближении к $1$ справа неограниченно возрастает,
а левосторонний предел не существует, потому что функция $\ln(t-1)$ при $t<1$ не определена.

Ну, а в точке $t=\ln 4$ всё в порядке. Всё настолько в порядке, насколько возможно. То есть:
Правосторонний предел $\lim\limits_{t\to\ln 4+0}\ln(t-1)$ существует.
Левоосторонний предел $\lim\limits_{t\to\ln 4-0}\ln(t-1)$ существует.
Функция $\ln(t-1)$ в точке $t=\ln 4$ определена,
и её значение $\ln(\ln 4 -1)$ совпадает с правосторонним и левосторонним пределом.
Всё это коротко выражается такими словами: функция $\ln(t-1)$ непрерывна в точке $t=\ln 4$.

Цитата:

Я что-то знаю, про подынтегральную функцию, но если подставить туда эти числа (е и 4), то там же результат будет в обоих случаях, подынтегральная функция определена...

Это касается только интеграла $\int\limits_1^{\ln 4} \frac{dt}{t}$. А с интегралом $\int\limits_1^{\ln 4} \frac{dt}{t-1}$ в этом плане проблема, как и с исходным.

В исходном подынтегральная функция равна $\frac{1}{ x(\ln ^{2} x - \ln x) }$. Подставим нижний предел (это ещё до замены, поэтому он равен $e$):
$\frac{1}{ e(\ln ^{2} e - \ln e) } = \frac{1}{ e(1 ^2 - 1) } = \frac{1}{ e\cdot 0}=\frac{1}{0}$

[Tkas]

svv
Я многое чего узнал и понял Вот так спасибо большое

[svv]

Пожалуйста!

[ewert]

svv в сообщении #552708 писал(а):

$\ln 0$ -- страшно, это $+\infty$.

Вообще-то не совсем.

Но дело не в этом. А в том, что при первом же взгляде на интеграл типа $\int\limits_1^a\frac{dt}{t^2-t}$ все вопросы насчёт сходимости должны отпадать сразу, на автомате. Просто из-за многочленности знаменателя и наличия его корней на промежутке интегрирования. И вот именно над этим-то ТС и следовало бы в первую очередь призадуматься, а вовсе не над каким-то там никому не нужным явным вычислением этого интеграла.