найти ГМТ

[geom]

Даны точки A, B.Найдите ГМТ (геометрическое место точек) таких C, что C, середины отрезков AC, BC и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.

[Edward_Tur]

$$a^2+b^2=2c^2$$

[Dave]

Пусть $C$ - подходящая точка. Обозначим через $A'$, $B'$, $C'$ соответственно середины сторон $BC$, $CA$ и $AB$, через $M$ - точку пересечения медиан треугольника $ABC$, через $L$ - середину отрезка $A'B'$. Так как точки $B'$, $C$, $A'$ и $M$ лежат на одной окружности, то $B'L \cdot LA' = CL \cdot LM$ (это следует из того, что $\triangle B'LM \sim \triangle CLA'$). Но в то же время, если медиана $CC'$ равна $m$, а $AC'=d$ (последнее число постоянно), то, ввиду подобия $\triangle B'LC$ и $\triangle AC'C$, $B'L=LA'=\frac {AC'} 2=\frac d 2$ и $CL=\frac {CC'} 2=\frac m 2$, а $LM=CM-CL=\frac 2 3 m - \frac m 2=\frac m 6$. Значит $\frac d 2 \frac d 2 = \frac m 2 \frac m 6$, откуда $m=\sqrt 3 d$, т.е. длина медианы $CC'$ постоянна и равна длине такой медианы, когда треугольник $ABC$ - равносторонний.
Нетрудно видеть, что верно и обратное: если $CC'=\sqrt 3 d$, то $B'L \cdot LA' = CL \cdot LM$, $\triangle B'LM \sim \triangle CLA'$ и точки $B'$, $C$, $A'$ и $M$ лежат на одной окружности.
Значит искомым ГМТ будет окружность с центром в середине отрезка $AB$, проходящая через третью вершину равностороннего треугольника, построенного на стороне $AB$.

[GAA]

Закрыто до 01.04.12