Вычисление вычета.

[samson4747]

Посчитать вычеты во всех ИОТОХ.

Пример.

$$f(z)=\sin(z) \sin\left(\dfrac{1}{z}\right);$$

Разобрался с этой темой вроде хорошо, но с этим примером маюсь что-то.

Хочется сказать, что ИОТОХами функции являются $z=\infty$ и $z=0$, но на деле выходит что только $\st{z=\infty}$. Исследуя $z=\infty $ умножил и разделил на $z$: $f(z)=\dfrac{\sin(z)}{z}\cdot z\sin\left(\dfrac{1}{z}\right)$ и разложив в ряд Лорана, получил, что, коэффициент при минус первой степени, т.е. $\ -c_{-1}=0$, т.е. $\mathop{\mathrm{Res}}\limits_{\infty}\,f(z)=0$. Правильно ли рассуждаю?

[ewert]

samson4747 в сообщении #551833 писал(а):

Правильно ли рассуждаю?

Да как сказать. Зачем его вообще считать, если функция чётная?

(и, между прочим, ноль и бесконечность по своим свойствам ничем не различаются)

[Хорхе]

(Оффтоп)

Иотох? Что это?

[AKM]

(Оффтоп)

Хорхе в сообщении #551882 писал(а):

Иотох? Что это?

С утра понял: это опечатка. Речь идёт об ИОТках.

[samson4747]

ewert в сообщении #551873 писал(а):

Да как сказать. Зачем его вообще считать, если функция чётная?

Не пойму причём тут чётность.

ewert в сообщении #551873 писал(а):

(и, между прочим, ноль и бесконечность по своим свойствам ничем не различаются)

это ясно $f(z)=f(1/z)$.

-- 25.03.2012, 11:54 --

Хорхе в сообщении #551882 писал(а):

Иотох? Что это?

Изолированная Особая Точка Однозначного Характера.

-- 25.03.2012, 11:57 --

Как исследовать данную функцию? Верно ли посчитал вычет?

[ewert]

samson4747 в сообщении #551894 писал(а):

Не пойму причём тут чётность.

По каким степеням раскладывается чётная функция?

[samson4747]

По чётным. Например функция $\cos z=1-\dfrac{1}{2!}z^2+\dfrac{1}{4!}z^4-\dfrac{1}{6!}z^6+\dots$, но как разложить мою функцию в окрестности нуля не понимаю, в бесконечности разложил и действительно получил, что коэфициент при $z^{-1}$, равен нулю то есть, вычет в бесконечно удалённой точке $f(z)$ равен $0$.

Спасибо, за то что помогли обратить внимание на то что функция чётная.

[ewert]

samson4747 в сообщении #551926 писал(а):

но как разложить мою функцию в окрестности нуля не понимаю,

Её и не нужно раскладывать явно. Достаточно просто знать, что такое разложение существует и содержит лишь чётные степени -- что положительные, что отрицательные.

-- Вс мар 25, 2012 13:27:47 --

Кстати:

samson4747 в сообщении #551926 писал(а):

но как разложить мою функцию в окрестности нуля не понимаю, в бесконечности разложил

Как так могло получиться, что у Вас вышло разложить в бесконечности, но при этом не вышло в нуле?...

[samson4747]

Спасибо, ewert.

-- 25.03.2012, 13:32 --

Цитата:

Как так могло получиться, что у Вас вышло разложить в бесконечности, но при этом не вышло в нуле?...

$0$ помешал разложить $\sin\dfrac{1}{z}$, так как разложение у этой функции в $\mathbb{C}\setminus{\{0\}}$.

[Хорхе]

(Оффтоп)

samson4747 в сообщении #551955 писал(а):

$$\boxed{\textbf{Спасибо, ewert}}$$

О ужас. Зачем же в рамочке?

[ewert]

(Оффтоп)

Хорхе в сообщении #551962 писал(а):

О ужас. Зачем же в рамочке?

Не бойтесь: "эти слухи несколько преувеличены".

[samson4747]

ewert в сообщении #551965 писал(а):

(Оффтоп)

Хорхе в сообщении #551962 писал(а):

О ужас. Зачем же в рамочке?

Не бойтесь: "эти слухи несколько преувеличены".

(Оффтоп)

Сначала, не понимал о чём это Вы, теперь понял, извиняюсь за некорректность. Были другие мысли на сей счёт.

[AKM]

(Оффтоп)

samson4747 в сообщении #551967 писал(а):

Сначала, не понимал о чём это Вы, теперь понял, извиняюсь за некорректность. Были другие мысли на сей счёт.

Вот трюк: без некорректностей это действо можно было бы совершить, например, так:

$$\color{magenta}\boxed{\textbf{\color{blue}Спасибо, ewert!}}$$

Хором желаем Вам, samson4747, всяческих успехов в освоении этой науки.

[samson4747]

(Оффтоп)

Огромное спасибо. Очень признателен. Буду стараться.