Полные пространства и замкнутые множества

[zrz]

Помогите пожалуйста прочувствовать тонкую грань между понятиями полное и замкнутое.
Термин полное обычно применяют к пространствам определяя полное пространство как пространство в котором сходится всякая фундаментальная последовательность.
Термин замкнутое применяют к множествам говоря что замкнутым называется множество содержащее все свои предельные точки.

Насколько я понимаю если пространство является замкнутым множеством то это по сути означает, то что оно полное. С другой стороны если мы возьмем какое-то полное пространство и выделим в нем замкнутое множество, то оно тоже будет полным пространством?

Получается что термины означают одно и тоже просто термин "полное" применяется к пространствам а термин "замкнутое" к множествам? Или я чего-то глобально недопонимаю?

[ИСН]

Замкнутость - это свойство в чём-то. То же самое касается понятий внутренности, границы и т.п. Вот интервал на прямой: у него все точки - внутренние. Теперь посмотрим на него же, но на плоскости. ВНЕЗАПНО внутренних точек нет вообще!
А полнота - это свойство самодостаточное, проверяемое изнутри.

[ewert]

zrz в сообщении #550685 писал(а):

С другой стороны если мы возьмем какое-то полное пространство и выделим в нем замкнутое множество, то оно тоже будет полным пространством?

Да, но только в эту сторону. В обратную неверно.

Выкиньте из пространства любую предельную точку. Любая сходившаяся к ней последовательность сразу же перестанет сходиться. А вот её фундаментальность никуда от этого не исчезнет.

[zrz]

ewert в сообщении #550696 писал(а):

Выкиньте из пространства любую предельную точку. Любая сходившаяся к ней последовательность сразу же перестанет сходиться. А вот её фундаментальность никуда от этого не исчезнет.

Так вот тут у меня и вопрос, возьмем R, это замкнутое множество и полное пространство. Выкинем точку, оно тут же перестанет быть и замкнутым множеством и полным пространством.

-- Ср мар 21, 2012 11:52:47 --

ИСН в сообщении #550688 писал(а):

Замкнутость - это свойство в чём-то. То же самое касается понятий внутренности, границы и т.п. Вот интервал на прямой: у него все точки - внутренние. Теперь посмотрим на него же, но на плоскости. ВНЕЗАПНО внутренних точек нет вообще!
А полнота - это свойство самодостаточное, проверяемое изнутри.

Т.е. замкнутость это свойство множества В пространстве? Как в вашем примере отрезок в пространстве R замкнут а в R2 нет ? Так нужно оперировать этими терминами?

[ИСН]

zrz в сообщении #550708 писал(а):

Выкинем точку, оно тут же перестанет быть и замкнутым множеством и полным пространством.

Замкнутым останется. Любое множество само в себе замкнуто. Замкнутым в R оно, правда, быть перестанет. Вы какое из этих свойств хотели приравнять к полноте?

[zrz]

ИСН в сообщении #550713 писал(а):

zrz в сообщении #550708 писал(а):

Выкинем точку, оно тут же перестанет быть и замкнутым множеством и полным пространством.

Замкнутым останется. Любое множество само в себе замкнуто. Замкнутым в R оно, правда, быть перестанет. Вы какое из этих свойств хотели приравнять к полноте?

Как так, я исхожу из следующего определения замкнутого множества: Замкнутое множество это множество содержащее все свои предельные точки.

Если мы выкинем из R точку, то множество "R без одной точки" перестанет содержать эту свою предельную точку, и как множество перестанет быть замкнутым, разве не так?

[ewert]

zrz в сообщении #550721 писал(а):

Если мы выкинем из R точку, то множество "R без одной точки" перестанет содержать эту свою предельную точку, и как множество перестанет быть замкнутым, разве не так?

Как множество где?...
Как подмножество самого себя, рассматриваемого в качестве пространства -- или как подмножество всего Эр в целом? Это разные вещи.

ИСН в сообщении #550713 писал(а):

Любое множество само в себе замкнуто. Замкнутым в R оно, правда, быть перестанет. Вы какое из этих свойств хотели?

[Padawan]

Подпространство полного метрического пространства полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто (как множество в этом пространстве).
Полное пространсто замкнуто в любом содержащем его метрическом пространстве.

[zrz]

ewert в сообщении #550726 писал(а):

zrz в сообщении #550721 писал(а):

Если мы выкинем из R точку, то множество "R без одной точки" перестанет содержать эту свою предельную точку, и как множество перестанет быть замкнутым, разве не так?

Как множество где?...
Как подмножество самого себя, рассматриваемого в качестве пространства -- или как подмножество всего Эр в целом? Это разные вещи.

ИСН в сообщении #550713 писал(а):

Любое множество само в себе замкнуто. Замкнутым в R оно, правда, быть перестанет. Вы какое из этих свойств хотели?

Мне кажется я наконец понял:
В приведенном примере если рассматривать "R без одной точки" как пространство, то это пространство очевидно не полно. Но например любой отрезок, который бы в полном пространстве R содержал бы эту самую выкинутую точку, в пространстве "R без одной точки" останется замкнутым просто просто потому, что содержит все предельные точки входящие в пространство. Этот же отрезок в пространстве R не будет замкнутым множеством.
Пользуясь такой логикой я понимаю почему любое множество замкнуто в себе.

Так?

[ewert]

zrz в сообщении #550741 писал(а):

просто просто потому, что содержит все предельные точки входящие в пространство.

Это правда.

[zrz]

ewert в сообщении #550930 писал(а):

zrz в сообщении #550741 писал(а):

просто просто потому, что содержит все предельные точки входящие в пространство.

Это правда.

А остальное что я там написал правда или нет? Извините за дотошность просто хочется "добить" эту тему и быть уверенным в своем понимании. Все-таки ФункАн для меня крайне небанальная дисциплина и плавать не хочется.