Доказать неравенство

[griboedovaa]

$\sum6ab+2\sum b^4\cdot c^4>6+3\sum a^2\cdot b +3\sum b^2\cdot a $
abc=1 ,как доказать помогите

[Toucan]

Отделено от темы Доказать неравенство.

griboedovaa, если хотите задать вопрос, не дописывайте его в существующую тему, а создавайте новую.

[arqady]

griboedovaa в сообщении #550028 писал(а):

$\sum6ab+2\sum b^4\cdot c^4>6+3\sum a^2\cdot b +3\sum b^2\cdot a $
abc=1 ,как доказать помогите

Вы, наверное, имеете в виду следующее:
$\sum\limits_{cyc}(6ab+2a^4b^4-2-3a^2b-3a^2c)\geq0$ и для положительных $a$, $b$ и $c$.
Ваше неравенство можно доказать многими способами. Напимер, так:
Если выразите левую часть через элементарные симметрические многочлены, то увидите, что она линейна оносительно $a+b+c$. Поэтому для доказательства достаточно проверить случай $b=c$.

[griboedovaa]

Цитата:

Поэтому для доказательства достаточно проверить случай $b=c$.

Можно здесь объяснит поподробней

[arqady]

griboedovaa в сообщении #551123 писал(а):

Цитата:

Поэтому для доказательства достаточно проверить случай $b=c$.

Можно здесь объяснит поподробней

Пусть $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$ и $abc=w^3$.
Тогда Ваше неравенство эквивалентно $F(u)\geq0$, где $F$ - линейная функция. Значит она принимает своё наименьшее значение на границе значений $u$.
$a$, $b$ и $c$ являются корнями уравнения $x^3-3ux^2+3v^2x-w^3=0$.
То бишь парабола $f(x)=3ux^2$ и график $g(x)=x^3+3v^2x-w^3$ имеют три общие точки (учитывая кратность).
Нарисуйте эти графики (учтите, что $a$, $b$ и $c$ неотрицательны) и начните менять $u$ при фиксированных $v^2$ и $w^3$ так, чтобы графики $f$ и $g$ имели бы 3 общие точки. Вы увидите, что $u$ меняется между двумя своими значенями, при которых парабола $f$ касается графика $g$, что соответствует случаю совпадения двух чисел из $\{a,b,c\}$.