Нелинейная система дифференциальных уравнений I порядка

[DLL]

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений:
$\frac{{da}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {b^2 + c^2 - a^2 } \right)$
$\frac{{db}}{{dt}} = - ab$
$\frac{{dc}}{{dt}} = - ac$

Удается найти два первых интеграла, однако пользы от них немного

[ИСН]

Два первых интеграла? То есть Вы знаете, грубо говоря, по каким траекториям ходит система, но не знаете, с какой скоростью?

[svv]

Домножим второе уравнение на $b$, третье на $c$, сложим. Введём $p^2=b^2+c^2$. Получится:
$\frac{{da}}{{dt}} = \frac{1}{2} ( p^2 - a^2)$
$\frac{dp}{dt} = - ap$
Попроще вроде?

Эта система имеет первый интеграл $\frac {a^2+p^2} p$, т.е. $a^2+p^2=Cp$.

[DLL]

Такие мысли тоже приходили в голову, только наверное так:
$ \frac{{dp}}{{dt}} = - 2ap $

Цитата:

Попроще вроде?

Не уверен.

Цитата:

Два первых интеграла? То есть Вы знаете, грубо говоря, по каким траекториям ходит система, но не знаете, с какой скоростью?

Если под первым интегралом понимать функцию, обладающую тем свойством, что она принимает постоянное значение вдоль любого решения системы, то для нахождения общего интеграла системы необходимо знать 3 первых интеграла.

[ИСН]

DLL в сообщении #549999 писал(а):

Если под первым интегралом понимать функцию, обладающую тем свойством, что она принимает постоянное значение вдоль любого решения системы,

...то знание одной такой функции задаёт поверхность в пространстве (a,b,c), а двух разных - пересечение поверхностей, сиречь кривую. Её я и назвал "траекторией".

[svv]

При моей подстановке двойки не надо. $p^2=b^2+c^2 \Rightarrow p\frac{dp}{dt}=b\frac{db}{dt}+c\frac{dc}{dt}$, двойки все сократились.

Из первого интеграла получаем $a^2+p^2=2Cp$ (вместо старого $C$ написал $2C$). Это, кстати, и есть "траектория" ИСН (вернее, при каждом $C$ получается траектория).
Или $a^2+(p-C)^2=C^2$.
Или $a=\pm\sqrt{C^2-(p-C)^2}$.
Подставим во второе уравнение:
$\frac{dp}{dt}\pm p \sqrt{C^2-(p-C)^2} = 0$
Вот, надо решить это уравнение.

[DLL]

Домножаем два последних уравнения (на b и c соответственно):
$ \frac{{db}}{{dt}}b = - ab^2 $
$\frac{{dc}}{{dt}}c = - ac^2$
Складываем:
$\frac{{db}}{{dt}}b + \frac{{dc}}{{dt}}c = - a(b^2 + c^2 ) $
Учитывая:
$\frac{{db}}{{dt}}b + \frac{{dc}}{{dt}}c = \frac{1}{2}\frac{d}{{dt}}\left( {b^2 + c^2 } \right)$
Получаем:
$\frac{1}{2}\frac{d}{{dt}}\left( {b^2 + c^2 } \right) = - a(b^2 + c^2 )$

[svv]

Пока всё правильно. И далее:
$\frac 1 2 \frac d {dt} p^2 = -ap^2$
$p \frac {dp} {dt} = -ap^2$ (вот двойка сократилась)
$\frac {dp} {dt} = -ap$

-- Пн мар 19, 2012 15:30:32 --

ИСН писал(а):

...то знание одной такой функции задаёт поверхность в пространстве (a,b,c), а двух разных - пересечение поверхностей, сиречь кривую. Её я и назвал "траекторией".

Ага. А наша система ДУ определяет в координатах $(a,b,c)$ векторное поле с компонентами $(\frac{b^2+c^2-a^2}{2}, -ab, -ac)$ (ну, или, наоборот, задается этим полем).
И в каждой точке $(a, b, c)$ вектор этого поля будет касательным к некоторой траектории. Длина вектора тоже имеет смысл -- это скорость движения по траектории точки, изображающей состояние системы. Красота!

[DLL]

Все так. Спасибо.