Метод разделения переменных (метод Фурье)

[Samir]

Объясните, пожалуйста, почему при решении задачи типа:

$$u_{tt} = a^2 u_{xx} + f(x,t)$$

$$u|_{x=0}=0$$

$$u|_{x=l}=0$$

$$u|_{t=0}=0$$

$$u_{t}|_{t=0}=0$$

можно пользоваться задачей Штурма-Лиувилля:

$$X'' + \lambda X = 0$$

$$X(0)=0 $$

$$X(l)=0$$

,
то есть ее результатом $X'' = -\lambda X$, если решение ищется в виде: $u(x,t) =\sum_{k}^{\infty} X_{k} (x)T_{k} (t)$
Почему ею можно пользоваться при решении однородной задачи, я понимаю, а вот почему при неоднородной, не знаю.
P.S. Извините за неаккуратное оформление. Не знаю, как сделать, чтобы на одну строку формулы переходили

[ewert]

Потому, что собственные функции задачи Штурма-Лиувилля образуют полную ортогональную систему. И, следовательно, по ним любую функцию можно раскладывать в ряд Фурье. И, в частности, любую функцию $u(x,t)$, где $x$ интерпретируется как переменная, а $t$ -- как параметр, можно при каждом $t$ разложить в ряд по $X_k(x)$ (тогда коэффициенты разложения $T_k$ будут, естественно, зависеть от $t$).

А вот полезно ли такое разложение или нет -- это уже другой вопрос. Да, полезно, поскольку после формальной подстановки его в волновое уравнение дело сводится к простеньким обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка на $T_k(t)$. Правда, неоднородным (неоднородности появляются как коэффициенты разложения $f(x,t)$ в ряд Фурье по тем же $X_k(x)$), но это принципиально не усложняет задачу, да и технически не шибко-то усложняет.

[Samir]

Спасибо большое. Теперь все встало на свои места.

[Taus]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #549773 писал(а):

Да, полезно

Для формальных вычислений - да, как результат нет ;) Желательно сначала все стационарные неоднородности выцепить из уравнения.