Потому, что собственные функции задачи Штурма-Лиувилля образуют полную ортогональную систему. И, следовательно, по ним любую функцию можно раскладывать в ряд Фурье. И, в частности, любую функцию

, где

интерпретируется как переменная, а

-- как параметр, можно при каждом

разложить в ряд по

(тогда коэффициенты разложения

будут, естественно, зависеть от

).
А вот полезно ли такое разложение или нет -- это уже другой вопрос. Да, полезно, поскольку после формальной подстановки его в волновое уравнение дело сводится к простеньким обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка на

. Правда, неоднородным (неоднородности появляются как коэффициенты разложения

в ряд Фурье по тем же

), но это принципиально не усложняет задачу, да и технически не шибко-то усложняет.