Спектр напряжения (теория электросвязи)

[greyvolf]

Задание такое....Модулированный сигнал поступает на вход амплитудного детектора.Рассчитайте спектр напряжения на выходе RC-фильтра детектора, выбрав постоянную времени RC-фильтра нижних частот так,чтобы амплитуда несущей составляла не более 0,1 от амплитуды полезного сигнала.
Дано:
$ i=0 $ при $ u<0;$
$ i=Su $ при $ u>0. $---ВАХ диода
$ S=7 (mA/B) $---крутизна ВАХ диода
$ R=12 (kOm) $---сопротивление нагрузки
$ U_0=6 (B) $---амплитуда напряжения сигнала
$ f_{0}=1.2 (MHz) $---частота несущей
$ F=8 (kHz) $---частота модулирующего сигнала
уравнение напряжения на входе $ u(t)=u_{0}(1+M_{a}\cos(2Ft\pi))\cos(2f_{0}t\pi)$
кто может подсказать как правильно выбрать постоянную времени при данных условиях???
как вообще выглядит уравнение напряжения на выходе???

[profrotter]

Для начала находим угол отсечки $\theta\approx{}^3\sqrt{\frac {\pi} {SR}}$ тока диода (формулу проверите в учебнике). Ток диода представляется в виде:

$$i(t)=I_0(t)+I_1(t)\cos(\omega_0t)+I_2(t)\cos(2\omega_0t)+...$$

где $I_n(t)=Sv(t)\gamma_n(\theta)$,
$v(t)=U_0(1+M_a\cos(\Omega t))$ - огибающая сигнала на входе,
$\gamma_n(\theta)$ - коэффициент Берга.
Подставляя $v(t)$ в выражение для тока, находим спектральный состав тока.

Коэффициент модуляции в задаче должен быть задан.

Посмотрим что получилось и будем выбирать постоянную времени.

Не факт, что от Вас требуют рассчитать цепь именно этим методом.

[greyvolf]

да, спектр тока я рассчитывал в первой части задания, вот что получилось:

$$i(t)=0.338(t)+0.417(t)\cos(\omega_0t)+0.002095(t)\cos(2\omega_0t)-0.00167(t)\cos(2\omega_0t)$$

где $\omega_{0}=2F$
$K_{d}=\cos(\theta)=0.802$ коэффициент детекции
Коэффициент модуляции $M_{a}=1$

-- Вс мар 18, 2012 23:14:20 --

я правда не определился толком с количеством слагаемых.....думаю четырех гармоник достаточно

[profrotter]

Судя по всему в первой части задания на входе был гармонический сигнал. А теперь на входе сигнал с амплитудной модуляцией. Это уже другой сигнал и спектр тока тоже будет другим. Он будет содержать постоянную составляющую, колебание на частоте модуляции, колебания на частотах воздействия, другие кратные и комбинационные составляющие. Уж сколько конкретно гармоник удерживать - смотрите в методичке или уточните у преподавателя.

В первом пункте был сигнал $u(t)=U_0\cos(\omega_0t)$ и ток $i(t)=I_0+I_1\cos(\omega_0t)+I_2\cos(2\omega_0t)+...$ амплитуды гармоник тока Вы нашли как $I_n=SU_0\gamma_n(\theta)$.

А теперь амплитуда сигнала из первого пункта начала изменяться со временем $u(t)=U_0(1+M\cos(\Omega t))\cos(\omega_0t)$. Полагая цепь безынерционной в записанных выше выражениях делаем замену $U_0\to U_0(1+M\cos(\Omega t))$, но учитываем, что угол отсчечки (и коэффициент детектирования) независит от амплитуды напряжения на входе, поэтому остаётся таким же независимо от того, есть модуляция или нет. Тогда для тока через диод получим:

$$i(t)=SU_0\gamma_0(\theta)(1+M\cos(\Omega t))+SU_0\gamma_1(\theta)(1+M\cos(\Omega t))\cos(\omega_0t)+SU_0\gamma_2(\theta)(1+M\cos(\Omega t))\cos(2\omega_0t)+...=$$

$$=I_0+I_{\Omega}\cos(\Omega t)+$$

$$+I_{\omega_0-\Omega}\cos((\omega_0-\Omega)t)+I_{\omega_0}\cos(\omega_0t)+I_{\omega_0+\Omega}\cos((\omega_0+\Omega)t)+$$

$$+I_{2\omega_0-\Omega}\cos((2\omega_0-\Omega)t)+I_{2\omega_0}\cos(2\omega_0t)+I_{2\omega_0+\Omega}\cos((2\omega_0+\Omega)t)+...$$

Этот ток проеткает через параллельный RC - фильтр. RC - фильтр является линейной цепью и для него выполняется принцип суперпозиции, поэтому можно рассматривать отдельно протекание каждой из составляющих тока через него. Находим комплексное сопротивление RC - фильтра $z(\omega,\tau)$. Амплитуда напряжения полезного сигнала $U_{\Omega}=|z(\Omega,\tau)|I_{\Omega}$. Амплитуда напряжения, соответствующая току несущей частоты $U_{\omega_0}=|z(\omega_0,\tau)|I_{\omega_0}$. Исходя из условия задачи получаем неравенство для постоянной времени:

$$|z(\omega_0,\tau)|I_{\omega_0}<0,1|z(\Omega,\tau)|I_{\Omega}.$$

(Расчёты можно выполнить и приближённо, положив, что составляющая частоты модуляции $\Omega$ протекает только через сопротивление $R$, а составляющая несущей частоты - только через ёмкостный элемент $C$.)

При выборе постоянной времени также не забываем, что расчёт схемы выполнен в предположении, что $\omega_0\tau>>1$ и $\Omega\tau < 1$.

-- Пн мар 19, 2012 14:16:51 --

[greyvolf]

а дальше как?найти величину емкости?
пусть

$$|z(\omega_0,\tau)|I_{\omega_0}<0,1|z(\Omega,\tau)|I_{\Omega}.$$

тогда

$$|X_{c}|I_{\omega_0}<0,1|X_{R})|I_{\Omega}$$

$$U_{\Omega}=\frac {M_{a}U_{0}}{2}$$

$$|X_{c}|I_{\omega_0}<0,1U_{\Omega}$$

???

$$X_{c}=\frac {1}{2fC\pi}$$

так?и отсюда найти величину С ??

[profrotter]

greyvolf в сообщении #550033 писал(а):

а дальше как?найти величину емкости?

1. Записать выражение для комплексного сопротивления RC - фильтра. Резистивный и ёмкостный элементы соединены параллельно. Запишите выражение для комплексного сопротивления параллельной RC-цепочки $z(\omega,\tau)$. В это выражение будут входить частота $\omega$ и постоянная времени $\tau=RC$. Значит если Вы найдёте $\tau$, то сможете найти и $C$, так как $R$ Вам известно.
2. Найти спектральный состав тока через диод. Это всё равно надо сделать, так как в задании Вас просят построить спектр отклика диодного детектора. Среди найденных величин будет амплитуда тока модулирующей частоты $I_{\Omega}$ и амплитуда тока несущей частоты $I_{\omega_0}$.
3. Выражения для амплитуд напряжений полезного сигнала $U_{\Omega}=I_{\Omega}|z(\Omega,\tau)|$ и напряжения несущей частоты $U_{\omega_0}=I_{\omega_0}|z(\omega_0,\tau)|$. Здесь $z(\omega_0,\tau)$ - выражение для комплексного сопротивления, в которое вместо $\omega$ подставлено $\omega_0=2\pi f_0$, а $z(\Omega,\tau)$ - выражение для комплексного сопротивления, в которое вместо $\omega$ подставлено $\Omega=2\pi F$.
4. Найти постоянную времени $\tau$, которая удовлетворяет неравеству $I_{\omega_0}|z(\omega_0,\tau)|<0,1I_{\Omega}|z(\Omega,\tau)|$.
5. Найти ёмкость $C=...$.

[greyvolf]

$1.$комплексное сопротивления параллельной RC-цепочки:

$$Z=\frac{X_{c}X_{R}}{X_{c}+X_{R}}$$

$$Z(\omega)=\frac{R}{1+jCR\omega}$$

пусть $\tau=RC$ тогда

$$Z(\omega,\tau)=\frac{R}{1+j\omega \tau}$$

вот.....а как отсюда то тау вытащить???даже если я подставлю значения вместо $R$ и $\omega$ мне это толком ничего не дает....как тут правильно сделать??
Вы уж простите если замучил Вас своей глупостью....

[profrotter]

1. Находим

$$|z(\omega,\tau)|=\left|\frac {R}{1+j\omega\tau}\right|=\frac {R}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}$$

2. Решаем уравнение относительно $\tau_{\min}$:

$$\frac {I_{\omega_0}R}{\sqrt{1+(\omega_0\tau_{\min})^2}}=\frac {0,1I_{\Omega}R}{\sqrt{1+(\Omega\tau_{\min})^2}}$$

3. Выбираем $\tau > \tau_{\min}$

[greyvolf]

Profrotter, а получается весьма странно...$\tau_{min}=1.325i*10^-7$

-- Вт мар 20, 2012 22:00:54 --

если я выберу например возьму $\tau=1*10^-6$ это удовлетворит условию?

[profrotter]

Комплексное значение $\tau_{\min}$, полученное при решении уравнения, говорило бы о том, что постоянную времени, удовлетворяющую условию задачи, выбрать нельзя. Но это не Ваш случай. Ничего не могу сказать, так как не вижу расчёты.

Возможно гораздо проще будет выбрать постоянную времени из условия $\Omega\tau=0.5$ (частота модуляции находится в середине полосы пропускания фильтра). При этом убедиться, что обеспечено $\omega_0\tau>>1$, а после расчёта спектра напряжения убедиться, что обеспечивается и требование $U_{\omega_0}<0,1U_{\Omega}$.

-- Ср мар 21, 2012 00:19:24 --

profrotter в сообщении #550403 писал(а):

2. Решаем уравнение относительно $\tau_{\min}$:

$$\frac {I_{\omega_0}R}{\sqrt{1+(\omega_0\tau_{\min})^2}}=\frac {0,1I_{\Omega}R}{\sqrt{1+(\Omega\tau_{\min})^2}}$$

Возможно я Вам всё-таки неправильно с этим уравнением подсказываю. По-хорошему надо искать действительный положительный корень уравнения

$$\frac {I_{\omega_0}R}{\sqrt{1+(\omega_0\tau_{\min})^2}}=\frac {aI_{\Omega}R}{\sqrt{1+(\Omega\tau_{\min})^2}},$$

где $a<0.1$, но максимально среди тех $a$, которые обеспечивают действительные решения.
Зачёркиваем уравнение и либо делаем как я выше написал, задаваясь наугад значением $\tau$, либо ищем все $\tau$, удовлетворяющие неравенству

$$\frac {I_{\omega_0}R}{\sqrt{1+(\omega_0\tau)^2}}<\frac {0,1I_{\Omega}R}{\sqrt{1+(\Omega\tau)^2}}.$$

Уж тут надо аккуратно посмотреть придём мы к этому злополучному уравнению или нет.

[greyvolf]

если считать по первой формуле то $U_{\omega}=5004.....$ $U_{\omega_{0}}=454$ многовато как то.....чет я ничего не пойму....в чем ошибка...величина емкости причем тоже с мнимой единицей..а иначе напряжение несущей падает в 30 раз....а если по второй формуле то маткад пишет что тау равно нулю....

-- Ср мар 21, 2012 23:50:12 --

Решение таково

$$\frac {I_{\omega_0}R}{\sqrt{1+(\omega_0\tau_{\min})^2}}=\frac {0,1I_{\Omega}R}{\sqrt{1+(\Omega\tau_{\min})^2}}$$

$$I_{\omega_0}R \sqrt{1+(\omega_0\tau_{\min})^2}= 0,1I_{\Omega}R \sqrt{1+(\Omega\tau_{\min})^2}$$

$$ \frac {I_{\omega_0}R}{0,1I_{\Omega}R}= \frac {\sqrt{1+(\Omega\tau_{\min})^2}}{\sqrt{1+(\omega_0\tau_{\min})^2}}$$

$$ (\frac {I_{\omega_0}R}{0,1I_{\Omega}R})^2=(\frac {\sqrt{1+(\Omega\tau_{\min})^2}}{\sqrt{1+(\omega_0\tau_{\min})^2}})^2$$

$$ (\frac {I_{\omega_0}R}{0,1I_{\Omega}R})^2= 0.001604$$

$$ (\frac {I_{\omega_0}R}{0,1I_{\Omega}R})^2= \frac {1+(\Omega\tau_{\min})^2}{1+(\omega_0\tau_{\min})^2}$$

подставляя известные значения частот

$$ \frac {1+5.685\cdot{10^13} (\tau_{\min})^2}{1+2.527\cdot{10^9} (\tau_{\min})^2}=0.001604$$

а далее уже считал маткад....я если честно не нашел способа вынести тау

[profrotter]

greyvolf в сообщении #550958 писал(а):

если считать по первой формуле то $U_{\omega}=5004.....$ $U_{\omega_{0}}=454$ многовато как то.....чет я ничего не пойму....в чем ошибка...

$U_{\Omega}$ независимо от выбора $\tau$ не превзойдёт значения $I_{\Omega}R$, а $U_{\omega_0}$ - значения $I_{\omega_0}R$. То есть

$$U_{\Omega}<I_{\Omega}R$$

$$U_{\omega_0}<I_{\omega_0}R$$

Поэтому ошибка в чём-то другом. Она не связана с выбором $\tau$. Интересно, у Вас напряжения в поллитрах измеряются что ли?

Неравенство решаем так:

$$\frac {I_{\omega_0}R}{\sqrt{1+(\omega_0\tau)^2}}<\frac {0,1I_{\Omega}R}{\sqrt{1+(\Omega\tau)^2}}$$

В первую очередь делим обе части на $R$ и возводим в квадрат. Так как левая и правая части положительны, то знак неравенства не изменяется:

$$\frac {I^2_{\omega_0}}{1+(\omega_0\tau)^2}<\frac {0,01I^2_{\Omega}}{1+(\Omega\tau)^2}$$

Вычитаем из правой и левой частей неравенства $\frac {I^2_{\omega_0}}{1+(\omega_0\tau)^2}$:

$$\frac {0,01I^2_{\Omega}}{1+(\Omega\tau)^2}-\frac {I^2_{\omega_0}}{1+(\omega_0\tau)^2}>0$$

Приводим к общему знаменателю и замечаем, что так как знаменатель всегда положителен, то достаточно предъявить требования пложительности к числителю:

$$0,01I^2_{\Omega}(1+(\omega_0\tau)^2)-I^2_{\omega_0}(1+(\Omega\tau)^2)>0$$

$$0,01I^2_{\Omega}+0,01I^2_{\Omega}\omega^2_0\tau^2-I^2_{\omega_0}-I^2_{\omega_0}\Omega^2\tau^2>0$$

Отсюда после подстановки численных значений находим значения $\tau^2$, а потом и $\tau$. Проделайте эти выкладки - я мог где-то ошибиться.

Ещё раз хочу заметить, что никому не интересна эта алгебра 7-го класса. Сосредоточтесь на расчёте спектра тока, а затем:

profrotter в сообщении #550545 писал(а):

... гораздо проще будет выбрать постоянную времени из условия $\Omega\tau=0.5$ (частота модуляции находится в середине полосы пропускания фильтра). При этом убедиться, что обеспечено $\omega_0\tau>>1$, а после расчёта спектра напряжения убедиться, что обеспечивается и требование $U_{\omega_0}<0,1U_{\Omega}$.

В задаче несущая частота примерно в 1000 раз больше частоты модуляции, коэффициент модуляции равен единице, угол отсечки мал, поэтому при любом расположении частоты модуляции в полосе пропускания фильтра скорее всего будет обеспечено требуемое условие $U_{\omega_0}<0,1U_{\Omega}$. В крайнем случае если не получится - можно подвигать её. Маткад всё стерпит.

[greyvolf]

ураааааа!!!!)))я нашел ошибку!!!все дело было в коэффициентах Берга.....теперь все нормально.
теперь все выглядит так, ток диода:

$$i(t)=1.008 \cdot 10^-3+1.931 \cdot 10^-3\cos(\omega_{0}t)+1.76 \cdot 10^-3\cos(2 \omega_{0}t)+1.587 \cdot 10^-3\cos(3 \omega_{0}t)$$

[greyvolf]

вернее так:

$$i(t)=5.04 \cdot 10^-4+9.66 \cdot 10^-4\cos(\omega_{0}t)+8.82 \cdot 10^-4\cos(2 \omega_{0}t)+7.98 \cdot 10^-4\cos(3 \omega_{0}t)$$

Profrotter, а вот когда мы раскладываем допустим $I_{1}$:

$$S\gamma_{1}U_{0}(1+M_{a}\cos(\Omega t)\cos(\omega_{0}t))=$$

$$S\gamma_{1}U_{0}\cos(\omega_{0}t)+S\gamma_{1}U_{0}\cos(\omega_{0}t)M_{a}\cos(\Omega t)=$$

$$=I_{1}\cos(\omega_{0}t)+I_{1}\cos(\omega_{0}t)M_{a}\cos(\Omega t)=$$

$$=I_{1}\cos(\omega_{0}t)+I_{1}M_{a}\cos((\omega_{0}+\Omega)t)+I_{1}M_{a}\cos((\omega_{0}-\Omega)t)=$$

почему в отличии от разложения спектра напряжения:

$$U_{0}(1+M_{a}\cos(\Omega t)\cos(\omega_{0}t))=$$

$$U_{0}\cos(\omega_{0}t)+\cos((\omega_{0}+\Omega)t)\frac {U_{0}M_{a}} {2} +\cos((\omega_{0}-\Omega)t)\frac {U_{0}M_{a}} {2}$$

нет деления пополам членов перед косинусом:

$$I_{1}\cos(\omega_{0}t)+I_{1}\cos((\omega_{0}-\Omega)t)+I_{1}\cos((\omega_{0}+\Omega)t)$$

????

[profrotter]

greyvolf в сообщении #551261 писал(а):

вернее так:

$$i(t)=5.04 \cdot 10^-4+9.66 \cdot 10^-4\cos(\omega_{0}t)+8.82 \cdot 10^-4\cos(2 \omega_{0}t)+7.98 \cdot 10^-4\cos(3 \omega_{0}t)$$

Ещё раз аккуратно намекну, что это не относится к текущей задаче. Скорее всего в первом пункте работы Вы рассматривали воздействие гармонического сигнала на детектор. Неужели Вы сами не видите, что в составе нет гармоник, соответствующих частоте модуляции?

greyvolf в сообщении #551261 писал(а):

Profrotter, а вот когда мы раскладываем допустим $I_{1}$:

$$S\gamma_{1}U_{0}(1+M_{a}\cos(\Omega t)\cos(\omega_{0}t))=$$

почему ... нет деления пополам членов перед косинусом... ?

Потому, что Вы это самое деление пополам не написали по каким-то причинам. Должно быть так:

$$S\gamma_{1}U_{0}(1+M_{a}\cos(\Omega t)\cos(\omega_{0}t))=$$

$$=S\gamma_{1}U_{0}\cos(\omega_{0}t)+S\gamma_{1}U_{0}\cos(\omega_{0}t)M_{a}\cos(\Omega t)=$$

$$=S\gamma_{1}U_{0}\cos(\omega_{0}t)+\frac {S\gamma_{1}U_{0}M_{a}} 2\cos((\omega_{0}+\Omega)t)+\frac{S\gamma_{1}U_{0}M_{a}} 2\cos((\omega_{0}-\Omega)t)=$$

$$=I_{\omega_0}\cos(\omega_{0}t)+I_{\omega_{0}+\Omega}\cos((\omega_{0}+\Omega)t)+I_{\omega_{0}-\Omega}\cos((\omega_{0}-\Omega)t)$$