Эффект Доплера и энергия сигнала

[profrotter]

Сигнал $s(t)$ длительностью $T_c$ с энергией $E=\int\limits_0^{T_c}s^2(t)dt$ излучается передающим устройством. При распространении отражается от зеркала, двигающегося со скоростью $v$ вдоль оси $x$ и поступает на вход приёмного устройства в виде $s(t-\tau)$, где $\tau=\frac {2x} {c}$ - задержка сигнала, $c$ - скорость распространения сигнала. Принимая во внимание закон движения отражателя $x=x_0\pm vt$ для задержки сигнала запишем

$$\tau=2\frac {x_0\pm vt} {c}=\frac {2x_0}{c}\pm2\frac{v}{c}t.$$

Для сигнала на входе приёмника, получим:

$$s(t-\tau)=s\left(\left(1\pm2\frac{v}{c}\right)t-\frac {2x_0}{c}\right)=s(a(t-t_0)),$$

где $a=1\pm2\frac{v}{c}$ - параметр масштаба, $t_0=\frac {2x_0}{c\pm2v}$ - параметр запаздывания.

Полученное выражение для сигнала показывает, что имеет место изменение длительности сигнала:

$$T'_c=\frac {T_c}{a}=\frac {T_c}{1\pm2\frac{v}{c}}.$$

Тогда энергия принятого сигнала:

$$E'=\int\limits_{t_0}^{t_0+T'_c}s(a(t-t_0))dt=\int\limits_{0}^{T'_c}s(at)dt=\frac E {{1\pm2\frac{v}{c}}}$$

отличается от энергии переданного сигнала.

В частном случае, когда рассматривается узкополосный сигнал

$$s(t)=v(t)\cos(\omega_0 t+\varphi(t)),$$

где $\omega_0$ - частота несущего колебания, $v(t)$ - огибающая, $\varphi(t)$ - мновенная фаза, получим

$$s(t-\tau)=v(a(t-t_0))\cos(\omega_0 a(t-t_0)+\varphi(t-t_0))=v(a(t-t_0))\cos(\omega'_0 t+\varphi(t-t_0)+\varphi_0),$$

где

$$\omega'_0=1\pm2\frac{v}{c},$$

$$\varphi_0=-\omega'_0t_0.$$

Имеет место сдвиг несущей частоты, что всегда и предполагается в эффекте Доплера. Энергии переданного и принятого узкополосных синалов определяются энергией их огибающих

$$E=\frac 1 2 \int\limits_0^{T_c} v^2(t)dt$$

$$E'=\frac 1 2 \int\limits_0^{T'_c} v^2(at)dt=\frac E {{1\pm2\frac{v}{c}}}$$

и будут отличатся ввиду изменения длительности.

1. Есть ли ошибки в рассуждениях?

2. Изменяется ли энергия сигнала при доплеровском преобразовании?

3. Где об этом можно почитать?

[Munin]

С энергией всё зависит от того, какой конкретно Доплер мы имеем в виду. Звук продольный, поперечный, электромагнитные волны, в нерелятивистской, в релятивистской области, какие-то другие волны и т. п.

В общем случае, надо иметь в виду:

I. Величины, которые подчиняются волновому уравнению, и в которых распространяются волны, сами по себе не всегда скалярны, и неизменны в разных системах отсчёта. Поэтому они тоже преобразуются, могут как увеличиваться, так и уменьшаться. По хорошему, это тоже надо бы включать в доплеровский сдвиг, как и аберрацию, но не принято.

II. Если волна распространяется в какой-то среде, то движущийся приёмник (или источник, или они оба) движутся не только относительно волны, но и относительно среды. То есть могут черпать энергию просто от взаимодействия со средой, и отделить от этого энергию волны бывает затруднительно или невозможно.

И вот если сложить вместе сам доплеровский сдвиг частоты, и I и II, то тогда баланс энергии сойдётся. Если вы до него ещё доберётесь, а не обнаружите, что он зависит от чего-то незаданного.

[Munin]

Конкретно в вашем случае сигнал подвергается Доплеру два раза: для падающей и для отражённой волны. Энергия возрастает, если зеркало надвигается, и убывает, если зеркало убегает. Энергия берётся у зеркала, которое тормозится при приближении, и разгоняется при удалении, ровно на величину давления света.

Из указанных мной эффектов, имеет место I - электромагнитная волна при сближении источника и приёмника не только увеличивает частоту, но и меняется по амплитуде, тоже в большую сторону. Это легко понять: пусть источник испустил 5 гребней волн. Приёмник их принял за меньшее время, то есть для приёмника те же 5 гребней волн занимают меньшее пространство. Плотность энергии увеличилась, величины напряжённостей электрического и магнитного поля выросли. Эффект II отсутствует - считаем, что наши волны распространяются не в среде, а в вакууме (в среде с показателем преломления возникают сложности с дефиницией энергии и импульса волны).

Насколько вырастет амплитуда волн? Можно напрямую использовать преобразования Лоренца для электромагнитного поля, Ландау, Лифшиц т. 2 "Теория поля", (24.2-3):

$$E_y'=\dfrac{E_y+(V/c)H_z}{\sqrt{1-V^2/c^2}},$$

где мы переходим из нештрихованной системы координат в штрихованную, $V$ - скорость сближения (то есть штрихованная СК движется со скоростью $-V$ относительно нештрихованной), ось $x$ направлена по направлению распространения волны, волна плоскополяризованная, такая, что её вектор $\mathbf{E}$ направлен по оси $y.$ Тогда $H_z=E_y,$ и мы имеем:

$$E_y'=\dfrac{1+V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}E_y.$$

Поток энергии $\mathbf{S}=\tfrac{c}{4\pi}\mathbf{[EH]}$ увеличится, соответственно, как

$$S'=\biggl(\!\dfrac{1+V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}\!\mathclose{\biggr)\!}^2S=\dfrac{1+V/c}{1-V/c}S.$$

Полная энергия находится как интеграл потока энергии за время, а время (длительность волнового пакета) сжимается с множителем

$$\sqrt{\dfrac{1+V/c}{1-V/c}}\,,$$

так что полная энергия оказывается увеличенной в

$$\sqrt{\dfrac{1+V/c}{1-V/c}}$$

раз. На обратном пути, от зеркала к приёмнику, произойдёт увеличение ещё во столько же раз, и в итоге энергия сигнала вырастет со множителем

$$\dfrac{1+V/c}{1-V/c}\,.$$

[profrotter]

Munin, благодарю за труд. В балансе энергии я не сомневался. Если честно, я надеялся оставаться в классических рамках.

Munin в сообщении #548804 писал(а):

Полная энергия находится как интеграл потока энергии за время, а время (длительность волнового пакета) сжимается с множителем

$$\sqrt{\dfrac{1+V/c}{1-V/c}}\,,$$

Возможно там интеграл по объёму локализации ещё? Вот это вот самое вкусное. Можно подробнее: почему так изменяется длительность?

[Munin]

profrotter в сообщении #548857 писал(а):

Если честно, я надеялся оставаться в классических рамках.

В классических рамках (в нерелятивистской области) мы всё равно не имеем права считать величины полей неизменными, и, соответственно, амплитуды волн. Вспомните хотя бы звуковые волны: одной из величин, испытывающих в них колебания, является скорость, а уж она-то точно не неизменна в разных системах отсчёта.

Нерелятивистские преобразования полей даны в том же Ландау-Лифшице в том же параграфе чуть дальше, например,

$$E_y'=E_y+(V/c)H_z$$

(в тех же обозначениях). Подставляя туда поле электромагнитной волны, получаем

$$E_y'=\bigl(1+(V/c)\bigr)E_y,$$

то есть эффект - первого порядка по $V/c,$ и не может быть проигнорирован в нерелятивистской области. Этот эффект можно учесть вместе с нерелятивистским доплеровским сдвигом частоты, и получить в конечном результате опять же увеличение энергии.

profrotter в сообщении #548857 писал(а):

Возможно там интеграл по объёму локализации ещё? Вот это вот самое вкусное.

Честно говоря, про объём я поленился оговаривать. Идеальная плоская волна - бюесконечна в поперечных направлениях, и поэтому имеет бесконечный объём и бесконечную энергию. Но мы можем выделить мысленно квадратный метр в плоскости $yz,$ и вычислять энергию в трубе, соответствующей этому квадратному метру. Такая труба хороша тем, что она остаётся сама собой при переходе в движущуюся систему отсчёта: по координатам $y$ и $z$ её стенки не сдвигаются, а по $x$ и $t$ она ничем не ограничена. Чтобы получить ограниченную локализацию по $x$ и $t,$ я взял пакет ограниченной длины (в ваших терминах - огибающую в виде, скажем, прямоугольника).

Но можно было бы рассматривать и бесконечную синусоидальную волну, только оговорить, что мы берём её не всю, а, скажем, 5 последовательных гребней. Но это потребовало бы проследить детально, как эти гребни в разных системах отсчёта выглядят, и вообще, являются ли они физической сущностью, независимой от системы отсчёта (ответ - являются, но это потребовало бы доказательств).

Другой вариант подхода к этому вопросу - взять волновой пакет, ограниченный не только в продольном, но и в поперечных направлениях, например, как гауссов пучок. Тогда было бы проще определение, о какой энергии и в каком объёме мы говорим, но сложнее вычисления, в частности, преобразования частоты. У такого пакета нет одной определённой частоты и волнового вектора, и потребовались бы вычисления во всех трёх пространственных координатах.

Так что я выбрал, как мне показалось, разумный компромисс.

profrotter в сообщении #548857 писал(а):

Можно подробнее: почему так изменяется длительность?

Я поленился выводить это вчера с нуля на коленке, и просто стырил формулу из английской Википедии ( http://en.wikipedia.org/wiki/Relativist ... ler_effect ). Могу расписать, но позже вечером.

[profrotter]

Заглядывал в справочник Ландау-Лифшица. Там нерелятивистские формулы приведены как частный случай релятивистких при малых скоростях. Кто их знает выводятся они по-другому или нет.

"Самое вкусное" я имел ввиду с изменением длительности. Именно в масштабировании времени, а не в изменении частоты вся суть эффекта Доплера. Я в импортных языках мало разбираюсь, но насколько я понял в википедии там тоже без вывода. Просто мол через лоренцев коэффициент.

Теперь к главному вопросу темы. Читал Ч.Кук, М. Бернфельд. Радиолокационные сигналы. Пер. с английского под ред. В.С. Кельзона. М.: Изд-во "Советское радио", 1971:

Я в стартовом сообщении проделал все выкладки по их модели - никакого множителя не появилось. Ну изменилась энергия. Это не страшно - мог иметь место "отбор энергии" у отражателя и тп. Вы проделали серьёзные выкладки. У Левича тоже приведена формула для энергии в разделе по эффекту Доплера.

Получается, что заблуждаются Кук-Берфельд, когда с потолка приписывают множитель и заставляют его обеспечивать неизменность энергии сигнала? (Фактически они полагают, что вместе с изменением длительности сигнала изменяется и его амплитуда, но так, что энергия остаётся фиксированной).

[Munin]

profrotter в сообщении #549091 писал(а):

Заглядывал в справочник Ландау-Лифшица. Там нерелятивистские формулы приведены как частный случай релятивистких при малых скоростях. Кто их знает выводятся они по-другому или нет.

Нет, по-другому не выводятся. Пока не было СТО, вообще никто не знал толком, как электрическое и магнитное поле выглядит в другой системе отсчёта.

А, нет, вру. Возьмём определение электрического и магнитного поля через то, как они действуют на пробный заряд (частицу, которая движется только под действием этих полей). Определение имеет вид (нерелятивистский, ЛЛ-2 (17.6)):

$$m\tfrac{d\mathbf{v}}{dt}=e\mathbf{E}+\tfrac{e}{c}\mathbf{[vH]}.$$

Теперь, переходя в другую систему отсчёта, мы можем заметить, что сила, действующая на частицу, неподвижную в новой системе отсчёта, уже другая, и приписать это изменению электрического поля в новой системе отсчёта, и аналогично найти изменение магнитного. Формулы будут в итоге ЛЛ-2 (24.4).

profrotter в сообщении #549091 писал(а):

"Самое вкусное" я имел ввиду с изменением длительности. Именно в масштабировании времени, а не в изменении частоты вся суть эффекта Доплера.

На самом деле, там равный вклад совершается и масштабированием времени, и масштабированием пространства. И вообще это в строгом смысле не масштабирование, а преобразования Лоренца, которые не действуют на время и пространство по отдельности.

profrotter в сообщении #549091 писал(а):

Я в импортных языках мало разбираюсь

Печально, потому что русскоязычный интернет - преимущественно мусорка.

profrotter в сообщении #549091 писал(а):

но насколько я понял в википедии там тоже без вывода. Просто мол через лоренцев коэффициент.

Нет, как раз вывод там дан, а лоренцев коэффициент - просто замена переменной, чтобы формулу записать компактней.

profrotter в сообщении #549091 писал(а):

Получается, что заблуждаются Кук-Берфельд, когда с потолка приписывают множитель и заставляют его обеспечивать неизменность энергии сигнала? (Фактически они полагают, что вместе с изменением длительности сигнала изменяется и его амплитуда, но так, что энергия остаётся фиксированной).

Да, либо Кук и Берфельд, либо это огрех перевода.

Физически, увеличение энергии очевидно. Представьте себе один фотон, и его энергия, очевидно, $E=\hbar\omega.$ Когда источник излучает этот фотон, он тратит именно такую энергию. Приёмник видит увеличенную частоту, и поэтому поглощает больше энергии, $E'=\hbar\omega'.$ Это аналогично тому, как какая-нибудь частица, например, дробинка или теннисный мяч, может быть брошена нами с небольшой энергией, но для получателя, мчащегося на нас с большой скоростью, например, на поезде, будет высокоэнергетической, и может совершить большую работу.

Таким образом, и при радиолокации окончательная энергия сигнала может возрасти (или уменьшиться, если цель удаляется). Представьте себе, что вы бросаете теннисный мяч в цель, а цель - ракетка - движется на вас. Тогда можно ожидать, что мяч вернётся к вам с большей энергией. Так же происходит и с фотонами, и с радиосигналом в целом.

[profrotter]

Munin в сообщении #549136 писал(а):

На самом деле, там равный вклад совершается и масштабированием времени, и масштабированием пространства. И вообще это в строгом смысле не масштабирование, а преобразования Лоренца, которые не действуют на время и пространство по отдельности.

А не может так получится, что изменяется плотность энергии, но изменяются и длительность и импульсный объём, в результате чего энергия самого волнового пакета останется неизменной? (Изменение импульсного объёма Вы как раз опустили в самом начале.)

[Munin]

Не может. Всё изменяется, но в результате меняется и энергия. Я это могу сразу, без вычислений сказать, потому что это довольно общий факт СТО, но объяснение его - всё-таки "тяжёлая артиллерия".

Главный момент здесь в том, что энергия в СТО - не самостоятельная величина, а часть многокомпонентной величины - 4-вектора энергии-импульса. 4-вектор - значит, вектор, имеющий проекции на пространственные и на временную ось. Вот временн́ая компонента этого 4-вектора энергии-импульса и есть энергия. А пространственные компоненты - импульс.

Переход в новую систему отсчёта - это поворот пространства-времени так, что старая ось времени наклоняется по отношению к новой. Тогда точка, которая раньше была неподвижной - двигалась параллельно старой оси времени - в новой системе отсчёта становится движущейся, поскольку движется не параллельно новой оси времени. Заодно (не как в классической механике) старые пространственные оси тоже наклоняются по отношению к новым.

И теперь должно быть понятно, что энергия в одной системе отсчёта не будет равна энергии в другой системе отсчёта. (В классической механике это тоже имело место, для кинетической энергии, но подробно не рассматривалось. А здесь это имеет место для любого вида энергии.) Но они между собой связаны, разумеется. По формулам преобразования Лоренца (это, по сути, формулы 4-мерного поворота) для 4-вектора энергии-импульса. И если их применить к электромагнитной волне, то получится то, что я уже излагал выше: двигаясь навстречу волне, мы воспринимаем её энергию как увеличившуюся.

[profrotter]

Munin, договорились. Пусть изменяется. Это на рассуждения Кука-Бернфельда и на мои, касаемые радиолокации, никак не повлияет. Тут важнее изменение длительности. Просто был вопрос интереса. Спасибо за помощь.

[Munin]

Длительность меняется вместе с частотой - собственно, я так понимаю, именно в этом главный посыл процитированного вами абзаца. То есть если частота повысилась, то и огибающая тоже ускорилась, и два последовательных импульса станут импульсами, идущими с меньшим промежутком.

Очень красиво это продемонстрировано в астрономии. Известно красное смещение далёких галактик. И известно, что некоторые быстротекущие процессы (например, вспышки сверхновых некоторого типа) протекают со стандартным "расписанием" по времени, скажем, дают кривую блеска по времени стандартной длительности. Так вот, наблюдение этих процессов в далёких галактиках показало, что они замедляются в той же степени, что и понижается частота света за счёт красного смещения.