Нули функции

[Nikys]

Найти все нули функции $f(x)=a\cos(x+2011)+b\cos(x+2012)+c\cos(x+2013)$, если коэффициенты $a$, $b$ и $c$ подобраны таким образом, что в промежутке $(0;\pi)$ этих нулей по крайней мере два.

[Null]

$f(x)=0$?

[Nikys]

Null
Ага. Только мне интересно, кто как это доказывал

[ewert]

Ну это же в любом случае какая-то сдвинутая синусоида и на промежутке, меньшем полупериода, иметь двух корней не может. Кроме тривиального случая $f(x)\equiv0$. (Который, конечно, возможен и при ненулевых коэффициентах).

[Nikys]

ewert
Просто есть способ это наглядно показать, без эмпирических фраз о полупериодах Кстати, довольно просто. Кинул, чтобы кто-то, может, более небанальный метод придумал, чем я)

[ewert]

Nikys в сообщении #549412 писал(а):

Просто есть способ это наглядно показать, без эмпирических фраз о полупериодах

При чём тут эмпирика. Просто тупо раскрыв все скобки и приведя подобные, получим $\alpha\cos x+\beta\sin x$. Или, что то же, $A\cos(x+\varphi)$. У которой, очевидно, расстояние между любыми двумя соседними корнями равно $\pi$, совершенно независимо от того, какими получатся коэффициенты.

Вы, наверное, намекали на векторную диаграмму. Ну можно и так, если уж очень захочется. Но необходимости нет.

[Nikys]

ewert
Ну, да...Метод у меня тот же. Просто хотелось чего-то поинтересней...) Ладно, может, найдется кто с интересными предложениями.

[ewert]

Да куда уж интересней. Каждый из двух вариантов сходу выходит на некоторое очень простое и интуитивно очевидное утверждение.

[Nikys]

Неужели всё настолько скучно?.. А что, если усложнить условие следующим образом?

Найти все нули функции $f(x)=a\cos(x+2011)+b\cos(x+2012)+c\cos(x+2013)$, если коэффициенты $a$, $b$ и $c$ подобраны таким образом, что в промежутке $[0;\pi]$ этих нулей по крайней мере два.

Или решения у такой задачи не будет?

[mihiv]

Т.к. расстояние между соседними корнями равно $\pi $,то корнями на $[0,\pi ]$ могут быть только $0$ и $\pi $ и,следовательно,все нули функции равны:$x_k=k\pi $,где $k$-целые числа.

[ewert]

Nikys в сообщении #549554 писал(а):

Или решения у такой задачи не будет?

Будет, но, к сожалению, ровно таким же. Ибо целочисленные сдвиги не кратны пи.

[Null]

А почему сдвиг должен быть целочисленным?

[INGELRII]

(Оффтоп)

Кто скажет, что числа $2011, 2012, 2013$ не целые, пусть первым бросит в меня лагранжиан.